Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 12N2​ = 18

Sebuah motor 1,1 kW yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan pinion dengan 12 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 18 gigi. Abaikan rugi-rugi. Cari torsi keluaran T2 pada poros roda gigi.

P = 1,1 kWn1 = 1500 rpmN1 = 12N2 = 18η = 100%
T2 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
Ns​ = 20cincin diamNp​ = 12nc​ = ?

Dalam set roda gigi planet, roda gigi matahari memiliki 20 gigi dan setiap roda gigi planet 12 gigi. Roda gigi cincin ditahan diam dan matahari digerakkan pada 1800 rpm. Cari kecepatan nc pembawa planet.

Ns = 20Np = 12ns = 1800 rpm
nc = rpm
3.Torsi porosSedang
T = 200 N·md = 30 mmL = 1,2 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = ?30 kW, 1500 rpm

Poros kuningan pejal meneruskan 30 kW pada 1500 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,75° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 30 kWN = 1500 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0,75°/mG = 39 GPa
d = mm
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 150σy​ = −30τxy​ = −40MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 150 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari sudut θs, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σx = 150 MPaσy = −30 MPaτxy = −40 MPa
θs = °
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
40°D = 600 mm, t = 6 mm, p = 0,8 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 600 mm dan tebal dinding 6 mm berisi gas bertekanan gauge 0,8 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 40° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σn yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 600 mmt = 6 mmp = 0,8 MPaα = 40°
σn = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 16 mmTembaga1 mP = 105 kN

Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.

P = 105 kNd = 16 mmL = 1 mE = 117 GPa
δ = mm
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 40 mmAluminium1,5 mØ 16 mmBaja0,5 mP = 45 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 45 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2 m25 × 100 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 3 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanisSedang
k = 10 kN/mc = 320 N·s/mm = 10 kg

Massa 10 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 10 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 320 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 10 kgk = 10 kN/mc = 320 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 20k2​ = 40m = 10 kg

Massa 10 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 20 kN/m dan k₂ = 40 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.

m = 10 kgk1 = 20 kN/mk2 = 40 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T2 = 10,5 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/157,1 = 7,003 N·m

Torsi keluaran

T2 = 7,003·18/12·1 = 10,5 N·m

Jawaban

T2 = 10,5 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: nc = 562,5 rpm

Set roda gigi planet: kecepatan matahari, cincin, dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: dilihat dari pembawa, set ini adalah rangkaian roda gigi biasa dengan planet sebagai roda perantara. Menahan satu anggota diam mengubah set menjadi reduktor dengan satu rasio.

Jumlah gigi roda gigi cincin

Nr = Ns + 2·Np = 20 + 2·12 = 44

Persamaan Willis dengan cincin diam

Ambil nr = 0 dan selesaikan untuk kecepatan pembawa.

(1800 − nc)/(0 − nc) = −44/20
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1800·20/64 = 562,5 rpm

Jawaban

nc = 562,5 rpm

Pembawa berputar searah dengan matahari.

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 6,651 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(26000·79522) = 0,1161 rad
φ = 0,1161·180/π = 6,651°

Jawaban

φ = 6,651°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 44,18 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 191 N·m = 190986 N·mm
dτ = ∛(16·190986/(π·40)) = 28,97 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·190986/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))1/4 = 44,18 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(28,97, 44,18) = 44,18 mm

Jawaban

d = 44,18 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θs = −56,98 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θs = −40/98,49 = −0,4061, sin 2θs = −90/98,49 = −0,9138
2θs = atan2(−90, −40) = −114°

Sudut pada elemen

θs = −56,98°
periksa: θs − θp = −56,98 − (−11,98) = −45°

Jawaban

θs = −56,98°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σn = 31,74 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 600/2 = 300 mm
σh = pr/t = 0,8·300/6 = 40 MPa
σa = pr/(2t) = 20 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σn = 20·sin²40° + 40·cos²40° = 31,74 MPa

Jawaban

σn = 31,74 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 4,463 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 105·1000/201,1 = 522,2 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 522,2/117000 = 0,004463 = 4463 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,004463·1000 mm = 4,463 mm

Jawaban

δ = 4,463 mm
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 223,8 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 35,81 MPa
σ2 = 223,8 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 223,8 MPa

Jawaban

σmax = 223,8 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 22,49 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/2000² = 22489 N = 22,49 kN

Jawaban

Pcr = 22,49 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 35,25 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/15 = 140

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Jawaban

σcr = 35,25 MPa
11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,506

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

cc = 2·√(k·m) = 2·√(10000·10) = 632,5 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/cc = 320/632,5 = 0,506

Jawaban

ζ = 0,506

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: fn = 12,33 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.

keq = 20 + 40 = 60 kN/m

Frekuensi alami

ωn = √(60000/10) = 77,46 rad/s
fn = 77,46/(2π) = 12,33 Hz

Jawaban

fn = 12,33 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design