Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 150 mm pada 1440 rpm. Tegangannya 800 N pada sisi tarik dan 200 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 800 NT₂ = 200 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (24 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan roda gigi B (60 gigi). Roda gigi C (15 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (50 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 1500 rpmA = 24B = 60C = 15D = 50

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros baja pejal meneruskan 5 kW pada 1500 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,75° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 5 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 40 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 40 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −40 MPa, σᵧ = −50 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Cari tegangan ekuivalen von Mises σ_vM.

σ_x = −40 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang kuningan, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 30 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 30 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 100 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 100 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 150 kg pada pegas dengan kekakuan 15 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,3. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 150 kgk = 15 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 40 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 10 kN/m dan pegas bawah k₂ = 100 kN/m. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 40 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 6,786 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 11,31 m/s

Daya

P = (800 − 200)·11,31 = 6786 W = 6,786 kW

Jawaban

P = 6,786 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 180 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 1500·24/60 = 600 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 600·15/50 = 180 rpm

Jawaban

n_out = 180 rpm

rasio total = 8,333 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,7183 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(39000·613592) = 0,01254 rad

φ = 0,01254·180/π = 0,7183°

Jawaban

φ = 0,7183°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 23,59 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 31,83 N·m = 31831 N·mm

d_τ = ∛(16·31831/(π·75)) = 12,93 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·31831/(π·80000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 23,59 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(12,93, 23,59) = 23,59 mm

Jawaban

d = 23,59 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 39,35 °

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, 40 − 20) = 78,69°

Sudut pada elemen

θ_p = 39,35°

Jawaban

θ_p = 39,35°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_vM = 69,28 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = −45 MPa, R = 30,41 MPa

σ₁ = −14,59 MPa, σ₂ = −75,41 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √((−14,59)² − (−14,59)·(−75,41) + (−75,41)²) = 69,28 MPa

Jawaban

σ_vM = 69,28 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1415 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/706,9 = 141,5 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 141,5/100000 = 0,001415 = 1415 µε

Jawaban

ε = 1415 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 3,015 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 42,44 MPa

σ₂ = 265,3 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 42,44·1000/117000 = 0,3627 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 265,3·1000/100000 = 2,653 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,015 mm

Jawaban

δ = 3,015 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 62,01 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·1000 = 500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/500² = 62013 N = 62,01 kN

Jawaban

P_cr = 62,01 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 120,7 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·100000 = 200000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 120,7 mm

Jawaban

d = 120,7 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 198,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 1,518 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(15000/150) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,3²) = 1,518 Hz

Jawaban

f_d = 1,518 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 9,091 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/10 + 1/100 → k_eq = 10·100/(10 + 100) = 9,091 kN/m

Jawaban

k_eq = 9,091 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design