Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Cacing dengan 2 ulir berputar pada 1450 rpm dan menggerakkan roda cacing dengan 48 gigi. Cari kecepatan n_w roda cacing.

z = 2N_w = 48n = 1450 rpm

n_w = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam set roda gigi planet, roda gigi matahari memiliki 20 gigi dan setiap roda gigi planet 12 gigi. Pembawa planet ditahan diam dan matahari digerakkan pada 600 rpm. Cari kecepatan n_r roda gigi cincin (besarnya).

N_s = 20N_p = 12n_s = 600 rpm

n_r = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros aluminium berongga (diameter luar 50 mm, diameter dalam 25 mm, panjang 2,5 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 500 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 500 N·md_o = 50 mmd_i = 25 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal berdiameter 60 mm dijepit di A. Torsi 400 N·m bekerja di B, 0,8 m dari A, dan torsi 1500 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 0,5 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

d = 60 mmT_B = 400 N·mT_C = 1500 N·mAB = 0,8 mBC = 0,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −70 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −70 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 1200 mm dan tebal dinding 5 mm berisi gas bertekanan gauge 1 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 30° terhadap sumbu silinder. Cari besar tegangan geser |τ_n| yang bekerja sepanjang kampuh las.

D = 1200 mmt = 5 mmp = 1 MPaα = 30°

|τ_n| = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 70 GPa). Keduanya panjangnya 400 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 150 kN. Cari pemendekan δ.

P = 150 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 150 MPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 110 GPa, tegangan izin 100 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatabung: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 40 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 50 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 1410 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 40 kgk = 50 kN/mc = 1410 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 50 kg tergantung pada pegas k₃ = 30 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 15 kN/m dan k₂ = 30 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_w = 60,42 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan roda

n_w = n·z/N_w = 1450·2/48 = 60,42 rpm

Jawaban

n_w = 60,42 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_r = 272,7 rpm

Set roda gigi planet: kecepatan matahari, cincin, dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set ini adalah rangkaian roda gigi biasa dengan planet sebagai roda perantara. Menahan satu anggota diam mengubah set menjadi reduktor dengan satu rasio.

Jumlah gigi roda gigi cincin

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·12 = 44

Persamaan Willis dengan pembawa diam

Dengan n_c = 0, matahari menggerakkan cincin melalui planet, yang bertindak sebagai roda perantara.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −600·20/44 = −272,7 rpm

|n_r| = 272,7 rpm

Jawaban

n_r = 272,7 rpm

Cincin berputar berlawanan arah dengan matahari.

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 4,789 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Sudut puntir

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·2500/(26000·575243) = 0,08358 rad

φ = 0,08358·180/π = 4,789°

Jawaban

φ = 4,789°

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 2,823 °

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 400 = 1100 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 1,1 × 10⁶·800/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,0266 rad

φ_BC = 1,5 × 10⁶·500/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,02267 rad

Puntiran ujung C

φ_C = 0,0266 + 0,02267 = 0,04927 rad → |φ_C| = 2,823°

Jawaban

φ_C = 2,823°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = −58,28 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, −70 − −40) = −116,6°

Sudut pada elemen

θ_p = −58,28°

Jawaban

θ_p = −58,28°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: |τ_n| = 25,98 MPa

Tegangan dinding

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 1·600/5 = 120 MPa

σ_a = pr/(2t) = 60 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σ_a) dan y mengelilingi keliling (σ_h). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

|τ_n| = (120 − 60)·sin 30°·cos 30° = 25,98 MPa

Jawaban

|τ_n| = 25,98 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,2164 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·3063 = 2,772 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 150000·400/2,772 × 10⁸ = 0,2164 mm

Jawaban

δ = 0,2164 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 844,7 kN

Luas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·9346 = 1,126 × 10⁹ N

Regangan penentu

ε = min(0,00075, 0,0009091) = 0,00075 (baja)

Beban terbesar

P_max = 0,00075·1,126 × 10⁹ = 844696 N = 844,7 kN

Jawaban

P_max = 844,7 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 347,3 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2000² = 347270 N = 347,3 kN

Jawaban

P_cr = 347,3 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 30,71 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/10 = 150

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Jawaban

σ_cr = 30,71 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,4985

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·40) = 2828 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 1410/2828 = 0,4985

Jawaban

ζ = 0,4985

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 3,02 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 15 + 30 = 45 kN/m

k_eq = 45·30/(45 + 30) = 18 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(18000/50) = 18,97 rad/s

f_n = 18,97/(2π) = 3,02 Hz

Jawaban

f_n = 3,02 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design