Pengukuran dan Instrumentasi: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 10 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Jembatan Wheatstone & strain gauge

Tegangan pembagi
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
Haluaran
Vab = Va − Vb
Keseimbangan
R1/R2 = R3/R4
Jembatan kawat geser
R/Rx = l/(100 − l)
Resistansi Thévenin
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
Faktor pengukur
ΔR/R = GF·ε
Keluaran jembatan
seperempat Vs·GF·ε/4, setengah Vs·GF·ε/2, penuh Vs·GF·ε
Perubahan kecil, satu lengan
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
Tegangan
σ = E·ε

Metode

  1. Perlakukan jembatan sebagai dua pembagi tegangan pada catu yang sama.
  2. Untuk keseimbangan, setel R₁/R₂ = R₃/R₄ lalu selesaikan untuk resistor yang tidak diketahui.
  3. Untuk jembatan tak seimbang, cari Va dan Vb dari pembagi lalu kurangkan; gunakan ekuivalen Thévenin bila alat ukur membebani keluaran.
  4. Untuk strain gauge, ubah regangan menjadi ΔR/R = GF·ε dan gunakan Vs·GF·ε/4, /2, atau ×1 untuk jembatan seperempat, setengah, atau penuh.

Akuisisi data & sampling

Kriteria Nyquist
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Frekuensi alias
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Ukuran langkah
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Kesalahan kuantisasi (pembulatan)
±½ LSB
Kode ADC dengan pemotongan
D = ⌊Vin/LSB⌋
Jumlah bit untuk resolusi r
2ᴺ ≥ span/r
SQNR ideal, sinus skala penuh
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Laju data
kanal × fs × N bit/s
ADC termultipleks
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 bit per byte; byte/s = baud/bit per frame
Pembagi baud rate
baud = fclk/(16·D)

Metode

  1. Tuliskan apa yang diketahui: laju sampling, frekuensi sinyal, jumlah bit, rentang masukan, baud rate.
  2. Pada soal sampling, bandingkan setiap frekuensi dengan fs/2; frekuensi yang lebih tinggi muncul pada fa = |f − k·fs| dengan kelipatan fs terdekat.
  3. Pada soal resolusi, cari 1 LSB = VFSR/2ᴺ, atau N terkecil dengan 2ᴺ ≥ rentang/resolusi.
  4. Pada soal laju data dan tautan UART, hitung semua yang dikirim: kanal, sampel per detik, bit atau byte utuh per sampel, serta bit start, paritas, dan stop pada setiap frame.

Rangkaian op-amp

Penguat pembalik
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Penguat tak membalik
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Penguat penjumlah
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Op-amp ideal
V+ = V−, Iin = 0

Resistor seri & paralel

Resistor seri
Req = R1 + R2 + …
Resistor paralel
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dua resistor paralel
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Hukum Ohm
V = I·R
Daya
P = V·I = I²R = V²/R

Metode

  1. Mulailah dari ujung jaringan yang paling jauh dari terminal.
  2. Gabungkan resistor seri dengan menjumlahkannya, dan resistor paralel dengan 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Gambar ulang rangkaian setelah setiap langkah.
  4. Ulangi sampai tersisa satu resistor di antara terminal.

Thévenin & Norton

Tegangan Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistansi Thévenin
Rth: semua sumber dimatikan, dilihat dari a–b
Arus Norton
IN = Vth/Rth
Arus beban
IL = Vth/(Rth + RL)
Transfer daya maksimum
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Metode

  1. Lepaskan beban dan tandai kedua terminal a dan b.
  2. Cari tegangan rangkaian terbuka antara a dan b: inilah Vth.
  3. Matikan semua sumber independen dan cari hambatan yang terlihat dari a–b: inilah Rth.
  4. Pasang kembali beban pada rangkaian ekuivalen: Vth seri dengan Rth.
  5. Untuk ekuivalen Norton, konversikan: IN = Vth/Rth, dengan RN = Rth secara paralel.

2Soal latihan

1.Jembatan Wheatstone & strain gaugeSedang
+−5 V150 Ω150 Ω + ΔR150 Ω150 Ωab+−24,75 mV

Sebuah jembatan dengan empat lengan 150 Ω dicatu dengan 5 V. Ketika sensor R₂ berubah, keluarannya menunjukkan Vab = 24,75 mV. Cari perubahan eksak ΔR dari R₂.

Vs = 5 VR = 150 ΩVab = 24,75 mV
ΔR = Ω
2.Jembatan Wheatstone & strain gaugeSulit
+−10 V120 Ω − ΔR120 Ω + ΔR120 Ω + ΔR120 Ω − ΔRab+−Vo​ = ?

Sebuah jembatan dengan lengan 120 Ω dieksitasi dengan 10 V dan memiliki empat gauge aktif, dua dalam tarik dan dua dalam tekan (jembatan penuh). Faktor pengukurnya 2 dan regangannya 1500 µε. Cari keluaran jembatan Vo dalam mV.

Vs = 10 VGF = 2ε = 1500 µε
Vo = mV
3.Akuisisi data & samplingSedang
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​PTb​11·Tb​38400 Bd, 8E1

Sebuah UART mengirim byte pada 38400 baud dengan format 8E1: 8 bit data, satu bit paritas genap, dan 1 bit stop, ditambah bit start. Cari jumlah byte data terbesar per detik yang dapat dikirimnya.

baud = 38400 Bd8E1
RB = B/s
4.Akuisisi data & samplingSulit
f0fs​/2fs​1,2 kHz5f₁?

Gelombang persegi 1,2 kHz disampel pada 5 kHz tanpa filter anti-aliasing. Gelombang persegi mengandung harmonik ganjil 3f₁, 5f₁, 7f₁, … Pada frekuensi berapa fa harmonik 5f₁ muncul dalam data tersampel? Berikan dalam Hz.

f₁ = 1,2 kHzfs = 5 kHzharmonik: 5f₁
fa = Hz
5.Rangkaian op-ampSedang
−+Vout​Rf​ = 47 kΩR1​ = 10 kΩVin​ = 1,8 V

Op-amp ideal dan dicatu ±15 V. Cari tegangan keluaran Vout.

Vin = 1,8 VR1 = 10 kΩRf = 47 kΩ
Vout = V
6.Rangkaian op-ampSulit
−+Vout​C = 2,2 µFVin​ = 2,3 VR = 1 kΩ

Integrator memakai op-amp ideal dengan catu ±15 V; keluarannya jenuh pada ±13 V. Kapasitor tidak bermuatan ketika masukan konstan Vin = 2,3 V diberikan pada t = 0. Cari tegangan keluaran Vout pada t = 10 ms.

Vin = 2,3 VR = 1 kΩC = 2,2 µFVsat = ±13 Vt = 10 ms
Vout = V
7.Resistor seri & paralelSedang
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​15 ΩB

Cari arus IR1 yang dialirkan sumber, yang mengalir melalui R1.

V1 = 6 VR1 = 4 ΩR2 = 5 ΩR3 = 10 ΩR4 = 15 Ω
IR1 = A
8.Resistor seri & paralelSulit
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 2 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​25 ΩAR4​3 ΩBR6​4 Ω

Cari arus IR1 yang dialirkan sumber, yang mengalir melalui R1.

V1 = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 25 ΩR3 = 2 ΩR4 = 3 ΩR5 = 20 ΩR6 = 4 Ω
IR1 = A
9.Thévenin & NortonSedang
R1​ = 20 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAab

Cari tegangan Thévenin Vth dilihat dari terminal a–b.

V1 = 10 VR1 = 20 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
10.Thévenin & NortonSulit
R1​ = 10 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​5 VR2​12 ΩAIs​0,5 ABRL​30 ΩIL​

Beban RL = 30 Ω dipasang di a–b. Ganti sisa rangkaian dengan ekuivalen Thévenin-nya dan cari arus beban IL.

V1 = 5 VIs = 0,5 AR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 ΩRL = 30 Ω
IL = A

3Larutan

1.Jembatan Wheatstone & strain gauge

Jawaban: ΔR = 3 Ω

Jembatan Wheatstone: dua pembagi tegangan berbagi satu catu Vs. Pembagi kiri R1–R2 memberikan Va = Vs·R2/(R1 + R2) dan pembagi kanan R3–R4 memberikan Vb = Vs·R4/(R3 + R4); keluarannya adalah Vab = Va − Vb. Jembatan seimbang (Vab = 0, tidak ada arus di alat ukur) bila R1/R2 = R3/R4, yaitu R1·R4 = R2·R3. Dilihat dari keluarannya, jembatan adalah sumber Thévenin dengan Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

Tegangan simpul

Va = 2,5 + 0,02475 = 2,525 V

Selesaikan pembagi

R₂ = 150·2,525/(5 − 2,525) = 153 Ω
ΔR = 153 − 150 = 3 Ω

Jawaban

ΔR = 3 Ω
2.Jembatan Wheatstone & strain gauge

Jawaban: Vo = 30 mV

Pengukur regangan (strain gauge): sebuah pengukur mengubah resistansinya menurut regangan: ΔR/R = GF·ε, dengan faktor pengukur GF sekitar 2 untuk foil logam. Pada jembatan dengan semua lengan sama dengan R, satu pengukur aktif (jembatan seperempat) memberikan Vo ≈ Vs·GF·ε/4. Dua pengukur aktif dengan regangan berlawanan pada lengan yang berdekatan (setengah jembatan) memberikan Vs·GF·ε/2, dan empat (jembatan penuh) memberikan Vs·GF·ε. Tegangan mekanik mengikuti hukum Hooke, σ = E·ε. Sel beban menyatakan sensitivitasnya dalam mV/V: keluaran pada beban penuh per volt eksitasi.

Perubahan resistansi relatif

ΔR/R = 2·1500·10⁻⁶ = 0,003

Keluaran jembatan

Vo = Vs·GF·ε = 10·0,003 = 30 mV

Jawaban

Vo = 30 mV
3.Akuisisi data & sampling

Jawaban: RB = 3491 B/s

UART: tautan serial asinkron mengirim setiap byte sebagai frame: satu bit start (rendah), bit data, satu bit paritas opsional, dan satu atau dua bit stop (tinggi). Baud rate adalah jumlah bit per detik, jadi satu bit berlangsung Tb = 1/baud dan frame n bit berlangsung n/baud. Format 8N1 yang umum memiliki 10 bit per byte. Pembangkit baud membagi clock: baud = fclk/(16·D) dengan bilangan bulat D, sehingga baud rate sebenarnya sedikit berbeda dari targetnya; galat di bawah sekitar 2 % biasanya dapat diterima.

Bit per frame

1 + 8 + 1 + 1 = 11

Laju byte

38400/11 = 3491 B/s

Jawaban

RB = 3491 B/s
4.Akuisisi data & sampling

Jawaban: fa = 1000 Hz

Sampling: ADC mengukur sinyal sebanyak fs kali per detik. Menurut teorema Nyquist–Shannon, frekuensi f tertangkap dengan benar hanya selama f < fs/2, yaitu frekuensi Nyquist (pelipatan), sehingga laju sampling harus melebihi dua kali frekuensi sinyal tertinggi. Frekuensi yang lebih tinggi tidak hilang: ia muncul sebagai alias pada fa = |f − k·fs|, dengan bilangan bulat k yang membuat hasilnya berada antara 0 dan fs/2. Sampel tidak dapat membedakan keduanya, sehingga filter anti-aliasing analog harus menghilangkan semua yang di atas fs/2 sebelum ADC.

Frekuensi harmonik

5f₁ = 5·1,2 kHz = 6 kHz

Kelipatan laju sampling terdekat

m = round(1,2) = 1

Frekuensi alias

fa = |6000 − 1·5000| = 1000 Hz

Jawaban

fa = 1000 Hz

Alias jatuh di dalam pita sinyal, tempat tidak ada filter digital yang dapat menghilangkannya. Hanya filter analog sebelum ADC yang membantu.

5.Rangkaian op-amp

Jawaban: Vout = 10,26 V

Aturan op-amp ideal: dengan umpan balik negatif, op-amp mengatur keluarannya sehingga kedua masukan berada pada tegangan yang sama (V₋ = V₊), dan tidak ada arus yang masuk ke masukan mana pun. Menulis KCL di masukan pembalik dengan dua fakta ini memberi keluarannya.

Masukan pembalik mengikuti masukan

V₋ = V₊ = 1,8 V
I = V₋/R1 = 1,8/10 = 0,18 mA

Tegangan keluaran

Arus melalui R₁ juga mengalir melalui Rf.

Vout = V₋ + I·Rf = 1,8 + 0,18·47 = 10,26 V

Jawaban

Vout = 10,26 V
6.Rangkaian op-amp

Jawaban: Vout = −10,45 V

Aturan op-amp ideal: dengan umpan balik negatif, op-amp mengatur keluarannya sehingga kedua masukan berada pada tegangan yang sama (V₋ = V₊), dan tidak ada arus yang masuk ke masukan mana pun. Menulis KCL di masukan pembalik dengan dua fakta ini memberi keluarannya.

Arus masukan dan laju kenaikan

kΩ dikali µF menghasilkan milidetik.

RC = 1 kΩ · 2,2 µF = 2,2 ms
laju kenaikan = −Vin/(RC) = −2,3/2,2 = −1,045 V/ms

Keluaran pada waktu yang diberikan

Nilai ideal berada di dalam ±Vsat, jadi integrator belum terpotong.

Vout = −Vin·t/(RC) = −2,3·10/2,2 = −10,45 V

Jawaban

Vout = −10,45 V
7.Resistor seri & paralel

Jawaban: IR1 = 0,7347 A

Resistor seri dan paralel: dalam seri, arus yang sama mengalir di setiap resistor dan R = R₁ + R₂ + …. Dalam paralel, setiap resistor punya tegangan yang sama dan 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Jaringan tangga disederhanakan satu pasang demi satu pasang hingga tersisa satu resistansi ekuivalen.

R1​ = 4 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​15 ΩB

Gabungkan resistor dari ujung terjauh

Mulai dari ujung yang paling jauh dari sumber dan bergerak kembali ke arahnya. Resistor yang dialiri arus sama terhubung seri; resistor di antara dua simpul yang sama terhubung paralel.

R3 + R4 = 10 + 15 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 5·25/(5+25) = 4,167 Ω
Req = R1 + 4,167 = 4 + 4,167 = 8,167 Ω

Arus dari sumber

Sumber hanya melihat Req, jadi hukum Ohm memberi arus yang dialirkannya. Arus itu mengalir melalui R₁.

IR1 = V1/Req = 6/8,167 = 0,7347 A

Jawaban

IR1 = 0,7347 A
8.Resistor seri & paralel

Jawaban: IR1 = 1,442 A

Resistor seri dan paralel: dalam seri, arus yang sama mengalir di setiap resistor dan R = R₁ + R₂ + …. Dalam paralel, setiap resistor punya tegangan yang sama dan 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Jaringan tangga disederhanakan satu pasang demi satu pasang hingga tersisa satu resistansi ekuivalen.

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​25 ΩAR4​3 ΩBR6​4 Ω

Gabungkan resistor dari ujung terjauh

Mulai dari ujung yang paling jauh dari sumber dan bergerak kembali ke arahnya. Resistor yang dialiri arus sama terhubung seri; resistor di antara dua simpul yang sama terhubung paralel.

R5 + R6 = 20 + 4 = 24 Ω
R4 ∥ 24 = 2,667 Ω
R3 + 2,667 = 4,667 Ω
R2 ∥ 4,667 = 3,933 Ω
Req = R1 + 3,933 = 3 + 3,933 = 6,933 Ω

Arus dari sumber

Sumber hanya melihat Req, jadi hukum Ohm memberi arus yang dialirkannya. Arus itu mengalir melalui R₁.

IR1 = V1/Req = 10/6,933 = 1,442 A

Jawaban

IR1 = 1,442 A
9.Thévenin & Norton

Jawaban: Vth = 3,333 V

Teorema Thévenin: setiap jaringan linear dua terminal berperilaku seperti satu sumber tegangan Vth yang seri dengan resistansi Rth. Teorema Norton menyatakan jaringan yang sama sebagai sumber arus IN = Vth/Rth yang paralel dengan Rth.

R1​ = 20 ΩR3​ = 20 ΩHUBUNG SINGKATR2​10 ΩAabRth​

Cari Rth dengan semua sumber dimatikan

Ganti sumber tegangan dengan hubung singkat dan sumber arus dengan rangkaian terbuka, lalu lihat rangkaian dari a–b.

R1 ∥ R2 = 20·10/(20+10) = 6,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,667 + 20 = 26,67 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​10 ΩAab+−Vth​

Cari Vth, tegangan rangkaian terbuka

Dengan a–b terbuka, tidak ada arus yang mengalir di R₃, jadi tidak ada jatuh tegangan dan V_b = V_A. R₁ dan R₂ membentuk pembagi tegangan.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·10/(20+10) = 3,333 V
10.Thévenin & Norton

Jawaban: IL = 0,1889 A

Teorema Thévenin: setiap jaringan linear dua terminal berperilaku seperti satu sumber tegangan Vth yang seri dengan resistansi Rth. Teorema Norton menyatakan jaringan yang sama sebagai sumber arus IN = Vth/Rth yang paralel dengan Rth.

R1​ = 10 ΩR3​ = 4 ΩHUBUNG SINGKATR2​12 ΩATERBUKABabRth​

Cari Rth dengan semua sumber dimatikan

Ganti sumber tegangan dengan hubung singkat dan sumber arus dengan rangkaian terbuka, lalu lihat rangkaian dari a–b.

R1 ∥ R2 = 10·12/(10+12) = 5,455 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,455 + 4 = 9,455 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​5 VR2​12 ΩAIs​0,5 ABab+−Vth​

Cari Vth, tegangan rangkaian terbuka

Dengan a–b terbuka, satu-satunya jalur Iₛ adalah melalui R₃ ke simpul A. Cari V_A dengan superposisi V₁ dan Iₛ, lalu tambahkan jatuh tegangan pada R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,727 + 0,5·5,455 = 5,455 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 5,455 + 0,5·4 = 7,455 V
Rth​ = 9,455 Ω+−Vth​7,455 VRL​30 ΩIL​

Hubungkan beban ke ekuivalen Thévenin

Sumber Thévenin dan R_th seri berperilaku persis seperti rangkaian asli di a–b, jadi beban melihat loop seri sederhana.

IL = Vth/(Rth + RL) = 7,455/(9,455 + 30) = 0,1889 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation