Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12300 mm400 mmØ25Ø30δ = 0,2 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 25 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,2 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø30 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
2.Tegangan & regangan aksialSulit
20 kN12600 mm500 mmØ40Ø50σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 40 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 50 mm, panjang 500 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 20 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.Torsi porosSedang
d1​ = 60 mmd2​ = 25 mmT = 100 N·mABC0,8 m2,5 m

Poros aluminium pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 60 mm dan panjang 0,8 m; segmen BC berdiameter 25 mm dan panjang 2,5 m. Torsi 100 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φC ujung C, dalam derajat.

T = 100 N·md1 = 60 mm, L1 = 0,8 md2 = 25 mm, L2 = 2,5 mG = 26 GPa
φC = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 15 kW pada 750 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 15 kWN = 750 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
M0​ = 25 kN·mAB3 m3 m

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M0 = 25 kN·m di x = 3 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur Mx tepat di kiri kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mM0 = 25 kN·m searah jarum jam, di 3 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
35 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

35 kN @ 0 m45 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
150 mm240 mm84 mmØ50xIx​ = ?

Sebuah pelat 150 mm × 240 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 50 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 84 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 240 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
2802022014xM = 40 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 40 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.

bf = 280 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 220 mmM = 40 kN·m
σatas = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −40σy​ = 70τxy​ = 10MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −40 MPa, σᵧ = 70 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = −40 MPaσy = 70 MPaτxy = 10 MPa
θp = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 30σy​ = 70τxy​ = −20MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 30 MPa, σᵧ = 70 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 45° searah jarum jam dari sumbu x.

σx = 30 MPaσy = 70 MPaτxy = −20 MPaθ = -45°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 20 kN/mABθ2 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θA balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Lendutan balokSulit
w = 10 kN/mAB3 m

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari reaksi RB di topang.

L = 3 mw = 10 kN/m
RB = kN
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 60 kNL = 3 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 60 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 60 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 22,95 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·706,9) = 5,659 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,2/8,715 × 10⁻⁶ = 22950 N = 22,95 kN

Jawaban

P = 22,95 kN
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 5,171 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm
k₂ = 110000·1963/500 = 431969 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 20000·431969/850848 = 10154 N

Tegangan

σ2 = 10154/1963 = 5,171 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 5,171 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φC = 14,5 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J1 = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φAB = 100000·800/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,002418 rad
φBC = 100000·2500/(26000·38350) = 0,2507 rad

Puntiran total

φC = 0,002418 + 0,2507 = 0,2531 rad = 14,5°

Jawaban

φC = 14,5°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 23,49 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·75)) = 23,49 mm

Jawaban

d = 23,49 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = −12,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: RB·L − M0 = 0. Kesetimbangan vertikal: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 25/6 = 4,167 kN (ke atas)
RA = −RB = −4,167 kN (ke bawah)

Potong tepat di kiri kopel

Bagian kiri hanya memuat RA.

Mx = RA·a = −4,167·3 = −12,5 kN·m

Jawaban

Mx = −12,5 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 16,67 kN, R2 = 63,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = −35, MC = −53,33, MD = −71,67, ME = −90 kN·m, MF = −45, MG = 0

Jawaban

Tanda E: ME = −90 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 169,8 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (36000·120 − 1963·84)/(36000 − 1963) = 122,1 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·240³/12 + 36000·−2,077² = 173 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−38,08² = 3,154 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 169,8 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 169,8 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σatas = 51,02 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 280·20 = 5600 mm², yf = 220 + 20/2 = 230 mm
badan: Aw = 14·220 = 3080 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5600·230 + 3080·110)/8680 = 187,4 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 280·20³/12 + 5600·(230 − 187,4)² = 1,034 × 10⁷ mm⁴
badan: 14·220³/12 + 3080·(110 − 187,4)² = 3,088 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,034 × 10⁷ + 3,088 × 10⁷ = 4,122 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 240 − 187,4 = 52,58 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·52,58/4,122 × 10⁷ = 51,02 MPa

Jawaban

σatas = 51,02 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = 84,85 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·10, −40 − 70) = 169,7°

Sudut pada elemen

θp = 84,85°

Jawaban

θp = 84,85°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 70 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 50 + −20·0 + −20·−1 = 70 MPa

Jawaban

σθ = 70 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: θA = 0,007215 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Kemiringan ujung

θA = wL³/(24EI) = 20·2000³/(24·9,24 × 10¹¹) = 0,007215 rad

Jawaban

θA = 0,007215 rad

Itu sama dengan 0,4134°.

12.Lendutan balok

Jawaban: RB = 11,25 kN

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Untuk balok statis tak tentu, lepaskan satu tumpuan kelebihan dan syaratkan lendutan di sana nol (kompatibilitas).

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δload = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang RB sendiri mengangkat ujung bebas sebesar RBL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·3/8 = 11,25 kN

Jawaban

RB = 11,25 kN
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 25,63 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1750² = 25628 N = 25,63 kN

Jawaban

Pcr = 25,63 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 57,78 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·60000 = 120000 N
KL = 1·3000 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 57,78 mm

Jawaban

d = 57,78 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 207,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials