Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 10 mmKuningan2 mP = 105 kN

Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.

P = 105 kNd = 10 mmL = 2 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 40 mmBaja1 mØ 16 mmBaja0,5 mP = 45 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 45 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
do​ = ?T = 250 N·m

Poros berongga harus menahan torsi 250 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,6 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 250 N·mdi/do = 0,6τallow = 75 MPa
do = mm
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 100 kW pada 3000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 100 kWN = 3000 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 4 kN/mABpotongan3,5 m6,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 3,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 4 kN/mAB2 m4 m

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 6 mw = 4 kN/m dari 2 sampai 6 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
1003801412xdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 100 mm dan setebal 14 mm, tinggi total 380 mm, dan badan setebal 12 mm. Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 100 mmH = 380 mmtf = 14 mmtw = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
2403022010xM = 30 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 30 kN·m. Cari tegangan lentur σbawah di tepi bawah.

bf = 240 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 220 mmM = 30 kN·m
σbawah = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 50MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = 50 MPa dan σᵧ = 0 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 80 MPa?

σx = 50 MPaσy = 0 MPaσ1 = 80 MPa
τxy = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 10σy​ = 10τxy​ = −20MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (σz = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 250 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σx = 10 MPaσy = 10 MPaτxy = −20 MPaσY = 250 MPa
n =
11.Lendutan balokSedang
w = 10 kN/mδL = 5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (baja)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 2 kN/mδL = 6 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (kayu struktural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 1 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 75 kNL = 5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 75 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 75 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 26,74 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 105·1000/78,54 = 1337 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1337/100000 = 0,01337 = 13369 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,01337·2000 mm = 26,74 mm

Jawaban

δ = 26,74 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,7386 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 35,81 MPa
σ2 = 223,8 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 35,81·1000/200000 = 0,179 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 223,8·500/200000 = 0,5595 mm
δ = δ1 + δ2 = 0,7386 mm

Jawaban

δ = 0,7386 mm
3.Torsi poros

Jawaban: do = 26,92 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·75·0,8704)) = 26,92 mm
di = 0,6·26,92 = 16,15 mm

Jawaban

do = 26,92 mm

Poros pejal memerlukan d = 25,7 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 34,35 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·318310/(π·40)) = 34,35 mm

Jawaban

d = 34,35 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 45,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 4·10·5
RB = 200/10 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 20 = 20 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 20RB​ = 20potongan3,5 m6,5 m

Potong di x = 3,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 20·3,5 − 4·3,5·1,75 = 45,5 kN·m

Jawaban

Mx = 45,5 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 14,22 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 4·4·4
RB = 64/6 = 10,67 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 10,67 = 5,333 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 5,333/4 = 3,333 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 5,333·3,333 − 4·1,333²/2 = 14,22 kN·m

Jawaban

Mmax = 14,22 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 137,4 × 10⁶ mm⁴

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 380 − 2·14 = 352 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (100·380³ − 88·352³)/12
Ix = 1,374 × 10⁸ mm⁴ = 137,4 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 137,4 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σbawah = 172,7 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 240·30 = 7200 mm², yf = 220 + 30/2 = 235 mm
badan: Aw = 10·220 = 2200 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7200·235 + 2200·110)/9400 = 205,7 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 240·30³/12 + 7200·(235 − 205,7)² = 6,702 × 10⁶ mm⁴
badan: 10·220³/12 + 2200·(110 − 205,7)² = 2,904 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6,702 × 10⁶ + 2,904 × 10⁷ = 3,574 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 205,7 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·205,7/3,574 × 10⁷ = 172,7 MPa

Jawaban

σbawah = 172,7 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 48,99 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (50 + 0)/2 = 25 MPa
R = σ1 − C = 80 − 25 = 55 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 25²) = 48,99 MPa

Jawaban

τxy = 48,99 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 6,25

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = 10 MPa, R = 20 MPa
σ1 = 30 MPa, σ2 = −10 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 40 MPa
n = 250/40 = 6,25

Jawaban

n = 6,25

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 46,5 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 10·5000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 46,5 mm

Jawaban

δ = 46,5 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 184,1 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·6000⁴/(384·11000·16,67) = 1,841 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 184,1 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 184,1 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 78,48 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1000 = 1000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1000² = 78485 N = 78,48 kN

Jawaban

Pcr = 78,48 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 65,99 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·75000 = 150000 N
KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 65,99 mm

Jawaban

d = 65,99 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 212,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials