Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
300 kNØ3070 GPaØ100/70800 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 70 GPa). Keduanya panjangnya 800 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 300 kN. Cari pemendekan δ.

P = 300 kNbatang: Ø30 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 30 mmBaja2 mØ 20 mmBaja0,5 mP = 60 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 60 kNsegmen 1: Ø30 mm, 2 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
do​ = ?T = 750 N·m

Poros berongga harus menahan torsi 750 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,8 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 750 N·mdi/do = 0,8τallow = 50 MPa
do = mm
4.Torsi porosSulit
do​ = ?75 kW, 1800 rpm

Poros berongga harus meneruskan 75 kW pada 1800 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,75 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

P = 75 kWN = 1800 rpmdi/do = 0,75τallow = 75 MPa
do = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 12 kN/mP = 25 kNAB2,5 m

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 2,5 m dari A. Cari momen lentur MA di tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 2,5 mP = 25 kN di 2,5 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 2,5 m
MA = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 10 kN/mP = 40 kNABpotongan2,5 m1,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mP = 40 kN di 2,5 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
1201514012xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 120 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
2202512012xM = 15 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 15 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.

bf = 220 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 120 mmM = 15 kN·m
σatas = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 70σy​ = 70MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = 70 MPa dan σᵧ = 70 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 90 MPa?

σx = 70 MPaσy = 70 MPaσ1 = 90 MPa
τxy = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
60°D = 1000 mm, t = 6 mm, p = 1,2 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 1000 mm dan tebal dinding 6 mm berisi gas bertekanan gauge 1,2 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 60° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σn yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 1000 mmt = 6 mmp = 1,2 MPaα = 60°
σn = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 18 kNABδ2 m4 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 2 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 18 kNa = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 5 kN/mδL = 2 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu struktural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 m40 × 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 5 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,569 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·4006 = 4,218 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 300000·800/4,218 × 10⁸ = 0,569 mm

Jawaban

δ = 0,569 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 191 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 84,88 MPa
σ2 = 191 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 191 MPa

Jawaban

σmax = 191 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: do = 50,58 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 750 N·m = 750000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·50·0,5904)) = 50,58 mm
di = 0,8·50,58 = 40,46 mm

Jawaban

do = 50,58 mm

Poros pejal memerlukan d = 42,43 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: do = 34,06 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 75000/188,5 = 397,9 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 397,9 N·m = 397887 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·397887/(π·75·0,6836)) = 34,06 mm
di = 0,75·34,06 = 25,55 mm

Jawaban

do = 34,06 mm

Poros pejal memerlukan d = 30,01 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: MA = −100 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −25·2,5 = −62,5 kN·m
w: −12·2,5²/2 = −37,5 kN·m
MA = −62,5 − 37,5 = −100 kN·m

Jawaban

MA = −100 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 56,25 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, bekerja di x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 40·2,5 + 10·4·2
RB = 180/4 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 45 = 35 kN
w = 10 kN/mP = 40 kNABRA​ = 35RB​ = 45potongan2,5 m1,5 m

Potong di x = 2,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 35·2,5 − 10·2,5·1,25 = 56,25 kN·m

Jawaban

Mx = 56,25 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 7,997 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 120·15 = 1800 mm², yf = 140 + 15/2 = 147,5 mm
badan: Aw = 12·140 = 1680 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1800·147,5 + 1680·70)/3480 = 110,1 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·15³/12 + 1800·(147,5 − 110,1)² = 2,553 × 10⁶ mm⁴
badan: 12·140³/12 + 1680·(70 − 110,1)² = 5,444 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2,553 × 10⁶ + 5,444 × 10⁶ = 7,997 × 10⁶ mm⁴ = 7,997 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 7,997 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σatas = 51,56 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 220·25 = 5500 mm², yf = 120 + 25/2 = 132,5 mm
badan: Aw = 12·120 = 1440 mm², yw = 120/2 = 60 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5500·132,5 + 1440·60)/6940 = 117,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 220·25³/12 + 5500·(132,5 − 117,5)² = 1,531 × 10⁶ mm⁴
badan: 12·120³/12 + 1440·(60 − 117,5)² = 6,482 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,531 × 10⁶ + 6,482 × 10⁶ = 8,013 × 10⁶ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 145 − 117,5 = 27,54 mm
σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·27,54/8,013 × 10⁶ = 51,56 MPa

Jawaban

σatas = 51,56 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 20 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (70 + 70)/2 = 70 MPa
R = σ1 − C = 90 − 70 = 20 MPa
σxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(20² − 0²) = 20 MPa

Jawaban

τxy = 20 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σn = 62,5 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 1000/2 = 500 mm
σh = pr/t = 1,2·500/6 = 100 MPa
σa = pr/(2t) = 50 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σn = 50·sin²60° + 100·cos²60° = 62,5 MPa

Jawaban

σn = 62,5 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δP = 5,714 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 18000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 18000·2000²·4000²/(3·1,12 × 10¹³·6000) = 5,714 mm

Jawaban

δP = 5,714 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 17,05 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·2000⁴/(384·11000·5,556) = 1,705 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 17,05 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 17,05 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 134,8 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2500 = 2500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/2500² = 134753 N = 134,8 kN

Jawaban

Pcr = 134,8 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 3,172 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/7,5 = 466,7

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/466,7² = 3,172 MPa

Jawaban

σcr = 3,172 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials