Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.

P = 30 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 90 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsi porosSedang

Poros aluminium berongga (diameter luar 50 mm, diameter dalam 38 mm, panjang 2 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 1000 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 1000 N·md_o = 50 mmd_i = 38 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 100 kW pada 1450 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 100 kWN = 1450 rpmd_o = 80 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

15 kN @ 2 m45 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

45 kN @ 0 m25 kN @ 6 m45 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 260 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 70 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 8 mm. Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b = 260 mmh = 70 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 30 kN·m. Cari tegangan lentur σ_bawah di tepi bawah.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mmM = 30 kN·m

σ_bawah = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 50 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 50 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 30° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 50 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 4 kNw = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Lendutan balokSulit

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban terpusat P di tengah bentang. EI konstan. Cari reaksi R_B di topang.

L = 4 mP = 40 kN di 2 m

R_B = kN

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 80 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 80 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,7835 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 30·1000/490,9 = 61,12 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 61,12/117000 = 0,0005224 = 522,4 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,0005224·1500 mm = 0,7835 mm

Jawaban

δ = 0,7835 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 2,193 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 71,62 MPa

σ₂ = 447,6 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 71,62·1500/100000 = 1,074 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 447,6·500/200000 = 1,119 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,193 mm

Jawaban

δ = 2,193 mm

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 10,78 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Sudut puntir

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·2000/(26000·408885) = 0,1881 rad

φ = 0,1881·180/π = 10,78°

Jawaban

φ = 10,78°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 8,621 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Momen inersia polar

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 658572·40/3,056 × 10⁶ = 8,621 MPa

Jawaban

τ_max = 8,621 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 35 kN, R₂ = 25 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 70, M_C = 110, M_D = 150 kN·m, M_E = 100, M_F = 50, M_G = 0

Jawaban

Tanda D: M_D = 150 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 73,33 kN, R₂ = 41,67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = −45, M_C = −16,67, M_D = −33,33, M_E = −50 kN·m, M_F = −25, M_G = 0

Jawaban

Tanda E: M_E = −50 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 1,152 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A₁ = 260·8 = 2080 mm², y₁ = 4 mm

dua kaki: A₂ = 2·8·62 = 992 mm², y₂ = 8 + 62/2 = 39 mm

Titik berat

ȳ = (2080·4 + 992·39)/3072 = 15,3 mm

Teorema sumbu sejajar

basis: 260·8³/12 + 2080·(4 − 15,3)² = 276786 mm⁴

dua kaki: 2·8·62³/12 + 992·(39 − 15,3)² = 874869 mm⁴

I_x = 276786 + 874869

I_x = 1,152 × 10⁶ mm⁴ = 1,152 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 1,152 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_bawah = 114,3 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

badan: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·310 + 3000·150)/5800 = 227,2 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 140·20³/12 + 2800·(310 − 227,2)² = 1,927 × 10⁷ mm⁴

badan: 10·300³/12 + 3000·(150 − 227,2)² = 4,04 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,927 × 10⁷ + 4,04 × 10⁷ = 5,967 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 227,2 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·227,2/5,967 × 10⁷ = 114,3 MPa

Jawaban

σ_bawah = 114,3 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = −31,72 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 50 − 30) = −63,43°

Sudut pada elemen

θ_p = −31,72°

Jawaban

θ_p = −31,72°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 11,34 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −10 + 60·0,5 + −10·0,866 = 11,34 MPa

Jawaban

σ_θ = 11,34 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 21,29 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 4000 N, w = 20 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(3EI) = 4000·3000³/(3·1,12 × 10¹³) = 3,214 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 20·3000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 18,08 mm

Jumlahkan

δ = 3,214 + 18,08 = 21,29 mm

Jawaban

δ = 21,29 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: R_B = 12,5 kN

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang R_B sendiri mengangkat ujung bebas sebesar R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·40/16 = 12,5 kN

Jawaban

R_B = 12,5 kN

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 9,922 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·5000 = 5000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9,922 kN

Jawaban

P_cr = 9,922 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 52,11 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 52,11 mm

Jawaban

d = 52,11 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 95,96, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials