Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 20 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 50 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 100 kW pada 1500 rpm tanpa tegangan geser melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 100 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

40 kN @ 0 m35 kN @ 12 m30 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 120 mm × 150 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 60 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 15 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mmM = 15 kN·m

σ_atas = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = −70 MPa, σᵧ = 50 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Elemen diputar 60° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σ_y′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σ_x = −70 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 80 MPa, σᵧ = 70 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 25° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 6,5 m dari tumpuan A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 19 kNa = 6,5 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δ_max.

P = 26 kNw = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (baja)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 2046 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 45·1000/314,2 = 143,2 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 143,2/70000 = 0,002046 = 2046 µε

Jawaban

ε = 2046 µε

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 4,62 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 39,79 MPa

σ₂ = 442,1 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 39,79·1000/200000 = 0,1989 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 442,1·1000/100000 = 4,421 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,62 mm

Jawaban

δ = 4,62 mm

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,847 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·500/(39000·79522) = 0,03224 rad

φ = 0,03224·180/π = 1,847°

Jawaban

φ = 1,847°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 34,35 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·80)) = 34,35 mm

Jawaban

d = 34,35 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 14 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 16·1 − 4·1·0,5 = 14 kN·m

Jawaban

M_x = 14 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 50 kN, R₂ = 55 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = −80, M_C = −60, M_D = −100, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Jawaban

Tanda E: M_E = −140 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 33,32 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (18000·75 − 1257·60)/(18000 − 1257) = 76,13 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·150³/12 + 18000·−1,126² = 33,77 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−16,13² = 0,4524 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 33,32 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 33,32 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 25,63 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

badan: A_w = 14·260 = 3640 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·275 + 3640·130)/6640 = 195,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 100·30³/12 + 3000·(275 − 195,5)² = 1,918 × 10⁷ mm⁴

badan: 14·260³/12 + 3640·(130 − 195,5)² = 3,613 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,918 × 10⁷ + 3,613 × 10⁷ = 5,531 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 290 − 195,5 = 94,49 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·94,49/5,531 × 10⁷ = 25,63 MPa

Jawaban

σ_atas = 25,63 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_y′ = −83,3 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σ_y′ = −10 − (−60)·(−0,5) − 50·0,866 = −83,3 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σ_x′ = 63,3 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −20 = σ_x + σ_y

Jawaban

σ_y′ = −83,3 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = −10,26 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −5·0,766 + −10·0,6428 = −10,26 MPa

Jawaban

τ_θ = −10,26 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 46,74 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 19000 N, a = 6500 mm, b = 1500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 19000·6500²·1500²/(3·1,61 × 10¹²·8000) = 46,74 mm

Jawaban

δ_P = 46,74 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 15 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 26000 N, w = 8 N/mm, L = 6000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(48EI) = 26000·6000³/(48·1,68 × 10¹³) = 6,964 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·6000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 8,036 mm

Jumlahkan

δ_max = 6,964 + 8,036 = 15 mm

Jawaban

δ_max = 15 mm

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 5,888 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/6000² = 5888 N = 5,888 kN

Jawaban

P_cr = 5,888 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 47,98 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/120² = 47,98 MPa

Jawaban

σ_cr = 47,98 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials