Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12400 mm400 mmØ30Ø50δ = 0,5 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari perunggu (diameter 50 mm, panjang 400 mm, E = 110 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,5 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
2.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø20110 GPaØ80/60300 mm

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 200 MPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa, tegangan izin 80 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPatabung: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.Torsi porosSedang
do​ = 30, di​ = 15 mmT = 400 N·mL = 3 m

Poros baja berongga (diameter luar 30 mm, diameter dalam 15 mm, panjang 3 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 400 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 400 N·mdo = 30 mmdi = 15 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 50 kW pada 1000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 50 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
60 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

60 kN @ 8 m60 kN @ 10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 5 kN/mP = 25 kNAB1 m4 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 5 mP = 25 kN di 1 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 5 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
200 mm200 mm120 mmØ40xIx​ = ?

Sebuah pelat 200 mm × 200 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 120 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1202010020xM = 5 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 5 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.

bf = 120 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 100 mmM = 5 kN·m
σatas = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −30σy​ = −20τxy​ = 30MPa

Suatu titik memiliki σₓ = −30 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari sudut θs, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σx = −30 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 50σy​ = 100τxy​ = −40MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 50 MPa, σᵧ = 100 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τθ pada bidang yang normalnya diputar 20° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σx = 50 MPaσy = 100 MPaτxy = −40 MPaθ = 20°
τθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 6 kN/mABθ5 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θA balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Lendutan balokSulit
w = 6 kN/mδL = 3 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 6 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (baja)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 1 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 130 kNL = 2 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 130 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 130 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 106,8 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1963) = 1,852 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,5/4,681 × 10⁻⁶ = 106806 N = 106,8 kN

Jawaban

P = 106,8 kN
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 221,6 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·2199 = 3,047 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,001, 0,0007273) = 0,0007273 (perunggu)

Beban terbesar

Pmax = 0,0007273·3,047 × 10⁸ = 221625 N = 221,6 kN

Jawaban

Pmax = 221,6 kN
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 11,53 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(30⁴ − 15⁴)/32 = 74551 mm⁴

Sudut puntir

T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 400000·3000/(80000·74551) = 0,2012 rad
φ = 0,2012·180/π = 11,53°

Jawaban

φ = 11,53°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 31,89 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·477465/(π·75)) = 31,89 mm

Jawaban

d = 31,89 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 30 kN, R2 = 90 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 60, MC = 120, MD = 180, ME = 240 kN·m, MF = 180, MG = 0

Jawaban

Tanda E: ME = 240 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 30,63 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·1 + 5·5·2,5
RB = 87,5/5 = 17,5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 17,5 = 32,5 kN

Di mana V = 0?

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (32,5 − 25)/5 = 1,5 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 30,63 kN·m

Jawaban

Mmax = 30,63 kN·m

Terjadi di x = 1,5 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 132,7 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (40000·100 − 1257·120)/(40000 − 1257) = 99,35 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·200³/12 + 40000·0,6487² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·40⁴/64 + 1257·20,65² = 0,6615 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 132,7 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 132,7 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σatas = 32,85 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 120·20 = 2400 mm², yf = 100 + 20/2 = 110 mm
badan: Aw = 20·100 = 2000 mm², yw = 100/2 = 50 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·110 + 2000·50)/4400 = 82,73 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·20³/12 + 2400·(110 − 82,73)² = 1,865 × 10⁶ mm⁴
badan: 20·100³/12 + 2000·(50 − 82,73)² = 3,809 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,865 × 10⁶ + 3,809 × 10⁶ = 5,674 × 10⁶ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 120 − 82,73 = 37,27 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·37,27/5,674 × 10⁶ = 32,85 MPa

Jawaban

σatas = 32,85 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θs = 4,731 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θs = 30/30,41 = 0,9864, sin 2θs = −(−5)/30,41 = 0,1644
2θs = atan2(5, 30) = 9,462°

Sudut pada elemen

θs = 4,731°
periksa: θs − θp = 4,731 − 49,73 = −45°

Jawaban

θs = 4,731°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τθ = −14,57 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

τθ = −−25·0,6428 + −40·0,766 = −14,57 MPa

Jawaban

τθ = −14,57 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: θA = 0,03382 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Kemiringan ujung

θA = wL³/(24EI) = 6·5000³/(24·9,24 × 10¹¹) = 0,03382 rad

Jawaban

θA = 0,03382 rad

Itu sama dengan 1,938°.

12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 3,797 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·3000⁴/(384·200000·8,333) = 3,797 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 3,797 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 3,797 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 6,867 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Jawaban

Pcr = 6,867 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 57,24 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·130000 = 260000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 57,24 mm

Jawaban

d = 57,24 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 139,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials