Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12400 mm400 mmØ40Ø60δ = 0,2 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 60 mm, panjang 400 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,2 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø60 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 40 mmAluminium2 mØ 12 mmKuningan0,5 mP = 65 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 65 kNsegmen 1: Ø40 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
d = ?T = 500 N·mL = 1 m

Poros kuningan pejal sepanjang 1 m menahan torsi 500 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 2°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 500 N·mL = 1 mG = 39 GPaφallow = 2°
d = mm
4.Torsi porosSulit
do​ = ?100 kW, 1000 rpm

Poros berongga harus meneruskan 100 kW pada 1000 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,8 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 60 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

P = 100 kWN = 1000 rpmdi/do = 0,8τallow = 60 MPa
do = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
15 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

15 kN @ 2 m25 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
55 kN55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

55 kN @ 6 m55 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
200 mm300 mm105 mmØ30xIx​ = ?

Sebuah pelat 200 mm × 300 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 30 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 105 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 300 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1401516014xM positifdimensi dalam mm

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 50 MPa untuk tarik dan 120 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar Mallow yang dapat ditahan balok.

bf = 140 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 160 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 140σy​ = 40MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = 140 MPa dan σᵧ = 40 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 160 MPa?

σx = 140 MPaσy = 40 MPaσ1 = 160 MPa
τxy = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​τxy​permukaan atas poros

Poros pejal berdiameter 40 mm menahan momen lentur sebesar 500 N·m bersama torsi 1000 N·m. Di permukaan atas, tempat tegangan lentur bersifat tarik dan paling besar, cari tegangan geser sebidang maksimum τmax.

d = 40 mmM = 500 N·mT = 1000 N·m
τmax = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 22 kNABδ1 m2 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 1 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 22 kNa = 1 mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 1 kN/mABδ6 m

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 100 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari tinggi terkecil hreq penampang.

w = 1 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 100 mm
hreq = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 1,5 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 6 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 66,53 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·2827) = 1,415 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,2/3,006 × 10⁻⁶ = 66528 N = 66,53 kN

Jawaban

P = 66,53 kN
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 4,351 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 51,73 MPa
σ2 = 574,7 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 51,73·2000/70000 = 1,478 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 574,7·500/100000 = 2,874 mm
δ = δ1 + δ2 = 4,351 mm

Jawaban

δ = 4,351 mm
3.Torsi poros

Jawaban: d = 43,98 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 2·π/180 = 0,03491 rad
J = TL/(Gφ) = 500000·1000/(39000·0,03491) = 367281 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)1/4 = 43,98 mm

Jawaban

d = 43,98 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: do = 51,59 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·954930/(π·60·0,5904)) = 51,59 mm
di = 0,8·51,59 = 41,27 mm

Jawaban

do = 51,59 mm

Poros pejal memerlukan d = 43,28 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: C (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 29,17 kN, R2 = 10,83 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 58,33, MC = 86,67 kN·m, MD = 65, ME = 43,33, MF = 21,67, MG = 0

Jawaban

Tanda C: MC = 86,67 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 5 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 22 kN, R2 = 88 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 22, MC = 44, MD = 11, ME = −22, MF = −55 kN·m, MG = 0

Jawaban

Tanda F: MF = −55 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 448,5 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (60000·150 − 706,9·105)/(60000 − 706,9) = 150,5 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·300³/12 + 60000·−0,5365² = 450 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−45,54² = 1,505 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 448,5 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 448,5 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Mallow = 5,361 kN·m

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Titik berat

ȳ = (2100·167,5 + 2240·80)/4340 = 122,3 mm
tepi atas: c = 175 − 122,3 = 52,66 mm

Momen inersia penampang

I = 140·15³/12 + 2100·45,16² + 14·160³/12 + 2240·42,34² = 1,312 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen positif: sisi atas tertekan, sisi bawah tertarik.

tepi atas: M = 120·1,312 × 10⁷/52,66 = 29,89 kN·m
tepi bawah: M = 50·1,312 × 10⁷/122,3 = 5,361 kN·m

Nilai yang menentukan

Mallow = min = 5,361 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

Mallow = 5,361 kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 48,99 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (140 + 40)/2 = 90 MPa
R = σ1 − C = 160 − 90 = 70 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 50²) = 48,99 MPa

Jawaban

τxy = 48,99 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 88,97 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Tegangan di permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·40³) = 79,58 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79,58 MPa
στxyCτmax​

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 39,79 MPa
R = √(39,79² + 79,58²) = 88,97 MPa

Jawaban

τmax = 88,97 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δP = 16,43 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 22000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 22000·1000²·2000²/(3·5,95 × 10¹¹·3000) = 16,43 mm

Jawaban

δP = 16,43 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: hreq = 222,7 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momen inersia yang diperlukan

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·6000⁴/(384·11000·16,67) = 9,205 × 10⁷ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = Ireq → h = (12·9,205 × 10⁷/100)1/3 = 222,7 mm

Jawaban

hreq = 222,7 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 139,5 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/750² = 139528 N = 139,5 kN

Jawaban

Pcr = 139,5 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 30,71 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/20 = 150

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30,71 MPa

Jawaban

σcr = 30,71 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials