Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
150 kNØ20110 GPaØ100/60800 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 800 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 150 kN. Cari pemendekan δ.

P = 150 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 35 mmKuningan0,5 mØ 12 mmKuningan0,5 mP = 45 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 45 kNsegmen 1: Ø35 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
T = 500 N·md = 20 mmL = 0,5 mφ = ?

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 500 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Tdo​ = 50 mm, di​ = 35 mm

Poros berongga meneruskan 10 kW pada 750 rpm. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

P = 10 kWN = 750 rpmdo = 50 mmdi = 35 mm
τmax = MPa
5.Gaya geser & momen lenturSedang
45 kN40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

45 kN @ 2 m40 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 10 kN/mP = 50 kNABpotongan2,5 m0,5 m1 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mP = 50 kN di 3 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
1601012016xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 160 mmtf = 10 mmtw = 16 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
150 mm240 mm96 mm30 × 20xIx​ = ?

Sebuah pelat 150 mm × 240 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 30 mm dan setinggi 20 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 96 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 240 mmpotongan: 30 × 20 mmpusat lubang: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 110σy​ = −10τxy​ = 50MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 110 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 110 MPaσy = −10 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −40σy​ = 0τxy​ = −20MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −40 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 30° searah jarum jam dari sumbu x.

σx = −40 MPaσy = 0 MPaτxy = −20 MPaθ = -30°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 6 kN/mδL = 2,5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 2 kN/mP = 24 kNδL = 8 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 24 kNw = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (baja)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 m40 × 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 60 kNL = 4 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 60 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 60 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1949 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·5027 = 6,158 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 150000·800/6,158 × 10⁸ = 0,1949 mm

Jawaban

δ = 0,1949 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 2,223 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 46,77 MPa
σ2 = 397,9 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 46,77·500/100000 = 0,2339 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 397,9·500/100000 = 1,989 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,223 mm

Jawaban

δ = 2,223 mm
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 11,4 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(80000·15708) = 0,1989 rad
φ = 0,1989·180/π = 11,4°

Jawaban

φ = 11,4°
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 6,827 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 127324·25/466269 = 6,827 MPa

Jawaban

τmax = 6,827 MPa
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: C (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 63,33 kN, R2 = 21,67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 63,33, MC = 86,67 kN·m, MD = 65, ME = 43,33, MF = 21,67, MG = 0

Jawaban

Tanda C: MC = 86,67 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 50 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, bekerja di x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·3 + 10·4·2
RB = 230/4 = 57,5 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 57,5 = 32,5 kN
w = 10 kN/mP = 50 kNABRA​ = 32,5RB​ = 57,5potongan2,5 m0,5 m1 m

Potong di x = 2,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 32,5·2,5 − 10·2,5·1,25 = 50 kN·m

Jawaban

Mx = 50 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 6,005 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 160·10 = 1600 mm², yf = 120 + 10/2 = 125 mm
badan: Aw = 16·120 = 1920 mm², yw = 120/2 = 60 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1600·125 + 1920·60)/3520 = 89,55 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 160·10³/12 + 1600·(125 − 89,55)² = 2,025 × 10⁶ mm⁴
badan: 16·120³/12 + 1920·(60 − 89,55)² = 3,98 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2,025 × 10⁶ + 3,98 × 10⁶ = 6,005 × 10⁶ mm⁴ = 6,005 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 6,005 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 172,4 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (36000·120 − 600·96)/(36000 − 600) = 120,4 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·240³/12 + 36000·−0,4068² = 172,8 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

30·20³/12 + 600·−24,41² = 0,3774 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 172,4 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 172,4 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 78,1 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((110 − −10)/2)² + 50²) = 78,1 MPa

Jawaban

τmax = 78,1 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = −12,68 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = −20 + −20·0,5 + −20·−0,866 = −12,68 MPa

Jawaban

σθ = −12,68 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 7,343 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 7,343 mm

Jawaban

δ = 7,343 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 11,33 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 24000 N, w = 2 N/mm, L = 8000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 24000·8000³/(48·3,2 × 10¹³) = 8 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 3,333 mm

Jumlahkan

δmax = 8 + 3,333 = 11,33 mm

Jawaban

δmax = 11,33 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 336,9 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/1250² = 336882 N = 336,9 kN

Jawaban

Pcr = 336,9 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 64,86 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2,5·60000 = 150000 N
KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 64,86 mm

Jawaban

d = 64,86 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 123,4, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials