Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 800 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 100 kN. Cari pemendekan δ.

P = 100 kNbatang: Ø25 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari tembaga (diameter 60 mm, panjang 500 mm, E = 120 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 100 N·md = 50 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros baja pejal berdiameter 50 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 1500 N·m diberikan di C, 1 m dari A dan 0,5 m dari B. Cari sudut rotasi φ_C penampang C, dalam derajat.

d = 50 mmT₀ = 1500 N·ma = 1 mb = 0,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 4,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

30 kN @ 6 m15 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 150 mm × 300 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 195 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 300 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I simetris memiliki sayap selebar 170 mm dan setebal 22 mm, tinggi total 440 mm, dan badan setebal 10 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 120 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur σ_j di pertemuan badan dan sayap atas.

B = 170 mmH = 440 mmt_f = 22 mmt_w = 10 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 110 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 110 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 90 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 30° searah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θ_A balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 3,5 m dari tumpuan B. Cari lendutan δ_mid di tengah bentang.

P = 22 kNb = 3,5 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 10 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 10 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,07758 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·8482 = 1,031 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 100000·800/1,031 × 10⁹ = 0,07758 mm

Jawaban

δ = 0,07758 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 29,84 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 120000·2827/500 = 678584 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 100000·678584/804248 = 84375 N

Tegangan

σ₂ = 84375/2827 = 29,84 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 29,84 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,4789 °

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(39000·613592) = 0,008358 rad

φ = 0,008358·180/π = 0,4789°

Jawaban

φ = 0,4789°

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 0,5836 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·0,5/1,5 = 500 N·m

T_B = 1500·1/1,5 = 1000 N·m

Rotasi C

Gunakan segmen AC: dijepit di A dan menahan T_A.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 500000·1000/(80000·613592) = 0,01019 rad = 0,5836°

Jawaban

φ_C = 0,5836°

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 37,13 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Potong di x = 4,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 15·4,5 − 3·4,5·2,25 = 37,13 kN·m

Jawaban

M_x = 37,13 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 5 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 6 kN, R₂ = 39 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 6, M_C = −3, M_D = −12, M_E = −21, M_F = −30 kN·m, M_G = 0

Jawaban

Tanda F: M_F = −30 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 334,8 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (45000·150 − 1257·195)/(45000 − 1257) = 148,7 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·300³/12 + 45000·1,293² = 337,6 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·40⁴/64 + 1257·46,29² = 2,819 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 334,8 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 334,8 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_j = 62,73 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 440 − 2·22 = 396 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·440³ − 160·396³)/12

I_x = 3,788 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 220 − 22 = 198 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·198/3,788 × 10⁸ = 62,73 MPa

Jawaban

σ_j = 62,73 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 3,17 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, 110 − −70) = 6,34°

Sudut pada elemen

θ_p = 3,17°

Jawaban

θ_p = 3,17°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = 7,01 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −−15·−0,866 + 40·0,5 = 7,01 MPa

Jawaban

τ_θ = 7,01 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: θ_A = 0,03882 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Kemiringan ujung

θ_A = wL³/(24EI) = 12·5000³/(24·1,61 × 10¹²) = 0,03882 rad

Jawaban

θ_A = 0,03882 rad

Itu sama dengan 2,224°.

12.Lendutan balok

Jawaban: δ_mid = 57,49 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 22000 N, b = 3500 mm, L = 8000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Lendutan tengah bentang

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 22000·3500·(3·8000² − 4·3500²)/(48·3,99 × 10¹²) = 57,49 mm

Jawaban

δ_mid = 57,49 mm

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 34,33 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/4200² = 34331 N = 34,33 kN

Jawaban

P_cr = 34,33 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 48,49 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·10000 = 30000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 48,49 mm

Jawaban

d = 48,49 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 206,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials