Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 20 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 60 mm, panjang 200 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,25 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 60 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal sepanjang 1,5 m menahan torsi 100 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 1°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 100 N·mL = 1,5 mG = 80 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 5 kW pada 1450 rpm tanpa tegangan geser melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 5 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 1 m dari A. Cari momen lentur M_A di tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 50 kN di 1 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 5 m

M_A = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 3 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 40 kN di 3 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 200 mm × 240 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 30 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 72 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 240 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 100 mm × 150 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 60 mm dan setinggi 40 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 97,5 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 150 mmpotongan: 60 × 40 mmpusat lubang: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 90 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −40 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 15° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = −40 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 3 m dari A. Cari lendutan δ_B di ujung bebas B.

P = 28 kNa = 3 mL = 4 mE = 200 GPa (baja)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δ_max.

P = 18 kNw = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 28,85 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·2827) = 7,074 × 10⁻⁷ mm/N

Beban

P = 0,25/8,665 × 10⁻⁶ = 28851 N = 28,85 kN

Jawaban

P = 28,85 kN

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 2,714 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 122,2 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 122,2·2000/200000 = 1,222 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 298,4·500/100000 = 1,492 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,714 mm

Jawaban

δ = 2,714 mm

3.Torsi poros

Jawaban: d = 32,34 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·1500/(80000·0,01745) = 107430 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 32,34 mm

Jawaban

d = 32,34 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 14,09 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·32929/(π·60)) = 14,09 mm

Jawaban

d = 14,09 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_A = −75 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −50·1 = −50 kN·m

w: −2·5²/2 = −25 kN·m

M_A = −50 − 25 = −75 kN·m

Jawaban

M_A = −75 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 78 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·3 + 10·5·2,5

R_B = 245/5 = 49 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 49 = 41 kN

Potong di x = 3 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 41·3 − 10·3·1,5 = 78 kN·m

Jawaban

M_x = 78 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 228,7 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (48000·120 − 706,9·72)/(48000 − 706,9) = 120,7 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·240³/12 + 48000·−0,7174² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−48,72² = 1,717 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 228,7 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 228,7 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 26,36 × 10⁶ mm⁴

Titik berat

ȳ = (15000·75 − 2400·97,5)/(15000 − 2400) = 70,71 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·150³/12 + 15000·4,286² = 28,4 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

60·40³/12 + 2400·26,79² = 2,042 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 26,36 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 26,36 × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = 9,217 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = 30/31,62 = 0,9487, sin 2θ_s = −(−10)/31,62 = 0,3162

2θ_s = atan2(10, 30) = 18,43°

Sudut pada elemen

θ_s = 9,217°

periksa: θ_s − θ_p = 9,217 − 54,22 = −45°

Jawaban

θ_s = 9,217°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = −59,33 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −35 + −5·0,866 + −40·0,5 = −59,33 MPa

Jawaban

σ_θ = −59,33 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_B = 22,5 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 28000 N, a = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Lendutan di ujung bebas

Lendutan di titik beban ditambah kemiringan di titik beban dikali sisa panjang.

δ_P = Pa³/(3EI) = 15 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0075 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 22,5 mm

Jawaban

δ_B = 22,5 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 6,503 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 18000 N, w = 15 N/mm, L = 3000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(48EI) = 18000·3000³/(48·3,99 × 10¹²) = 2,538 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 3,965 mm

Jumlahkan

δ_max = 2,538 + 3,965 = 6,503 mm

Jawaban

δ_max = 6,503 mm

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 23,55 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/750² = 23551 N = 23,55 kN

Jawaban

P_cr = 23,55 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 25,18 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/6,25 = 280

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Jawaban

σ_cr = 25,18 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials