Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 10 mmAluminium1,5 mP = 10 kN

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø30120 GPaØ80/50300 mm

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 200 MPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa, tegangan izin 80 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPatabung: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.Torsi porosSedang
T = 250 N·md = 40 mmL = 0,5 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 40 mmL = 0,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 15 kW pada 500 rpm tanpa tegangan geser melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 15 kWN = 500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 55 kNP2​ = 15 kNABC3,5 m2,5 m1 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P1 di antara tumpuan dan beban terpusat P2 di C. Cari gaya geser Vx tepat di kiri tumpuan B. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 7 mP1 = 55 kN di 3,5 mP2 = 15 kN di 7 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m
Vx = kN
6.Gaya geser & momen lenturSulit
5 kN/m45 kN20 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

45 kN @ 12 m20 kN @ 2 m5 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
2001512018xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 200 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
200 mm240 mm156 mm80 × 50xIx​ = ?

Sebuah pelat 200 mm × 240 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 80 mm dan setinggi 50 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 156 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 240 mmpotongan: 80 × 50 mmpusat lubang: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 150σy​ = 60τxy​ = −10MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 150 MPa, σᵧ = 60 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 150 MPaσy = 60 MPaτxy = −10 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 30σy​ = 40τxy​ = −40MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 30 MPa, σᵧ = 40 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τθ pada bidang yang normalnya diputar 20° searah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σx = 30 MPaσy = 40 MPaτxy = −40 MPaθ = -20°
τθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 8 kNABδ3,5 m1,5 m

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 3,5 m dari A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 8 kNa = 3,5 mL = 5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 6 kN/mP = 5 kNδL = 2,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 5 kNw = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 4 m20 × 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 50 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 3 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1819 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 10·1000/78,54 = 127,3 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/70000 = 0,001819 = 1819 µε

Jawaban

ε = 1819 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 339,3 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·3063 = 5,089 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,001, 0,0006667) = 0,0006667 (tembaga)

Beban terbesar

Pmax = 0,0006667·5,089 × 10⁸ = 339292 N = 339,3 kN

Jawaban

Pmax = 339,3 kN
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,096 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(26000·251327) = 0,01913 rad
φ = 0,01913·180/π = 1,096°

Jawaban

φ = 1,096°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 26,32 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s
T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·286479/(π·80)) = 26,32 mm

Jawaban

d = 26,32 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Vx = −34,58 kN

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.

ΣMA = 0: RB·6 = 55·3,5 + 15·7
RB = 297,5/6 = 49,58 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 49,58 = 20,42 kN

Potong tepat di kiri B dan ambil bagian kiri

Vx = RA − P1 = 20,42 − 55 = −34,58 kN

Jawaban

Vx = −34,58 kN
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 10 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 32 kN, R2 = 83 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 54, MC = 48, MD = 22, ME = −24, MF = −90 kN·m, MG = 0

Jawaban

Tanda F: MF = −90 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 8,37 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 200·15 = 3000 mm², yf = 120 + 15/2 = 127,5 mm
badan: Aw = 18·120 = 2160 mm², yw = 120/2 = 60 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·127,5 + 2160·60)/5160 = 99,24 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 200·15³/12 + 3000·(127,5 − 99,24)² = 2,451 × 10⁶ mm⁴
badan: 18·120³/12 + 2160·(60 − 99,24)² = 5,919 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2,451 × 10⁶ + 5,919 × 10⁶ = 8,37 × 10⁶ mm⁴ = 8,37 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 8,37 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 223,9 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (48000·120 − 4000·156)/(48000 − 4000) = 116,7 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·240³/12 + 48000·3,273² = 230,9 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

80·50³/12 + 4000·39,27² = 7,003 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 223,9 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 223,9 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 46,1 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((150 − 60)/2)² + −10²) = 46,1 MPa

Jawaban

τmax = 46,1 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τθ = −33,86 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

τθ = −−5·−0,6428 + −40·0,766 = −33,86 MPa

Jawaban

τθ = −33,86 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δP = 64,96 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 8000 N, a = 3500 mm, L = 5000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa³/(3EI) = 8000·3500³/(3·1,76 × 10¹²) = 64,96 mm

Jawaban

δP = 64,96 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 2,906 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 5000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 5000·2500³/(48·1,61 × 10¹²) = 1,011 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 1,896 mm

Jumlahkan

δmax = 1,011 + 1,896 = 2,906 mm

Jawaban

δmax = 2,906 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 16,45 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/2000² = 16449 N = 16,45 kN

Jawaban

Pcr = 16,45 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 25,18 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/7,5 = 280

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Jawaban

σcr = 25,18 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials