Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 400 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 25 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 30 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 750 N·md = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 5 kW pada 300 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 5 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

30 kN @ 2 m15 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari momen lentur M_B di tumpuan B. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 9 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 9 mtumpuan di x = 0 dan x = 8 m

M_B = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I las memiliki sayap atas 130 × 10 mm, badan setinggi 310 mm dan setebal 14 mm, dan sayap bawah 250 × 18 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 130 × 10 mmbadan: 14 × 310 mmsayap bawah: 250 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 10 MPa dan σᵧ = 80 MPa. Seberapa besar tegangan geser τ_xy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 140 MPa?

σ_x = 10 MPaσ_y = 80 MPaσ₁ = 140 MPa

τ_xy = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 40 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 275 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σ_x = 40 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 8 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil I_req yang memenuhi batas ini.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 45 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 45 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,04244 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5027 = 7,54 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 80000·400/7,54 × 10⁸ = 0,04244 mm

Jawaban

δ = 0,04244 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 21,8 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 110000·706,9/300 = 259181 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 30000·259181/504618 = 15409 N

Tegangan

σ₂ = 15409/706,9 = 21,8 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 21,8 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 20,26 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(80000·79522) = 0,3537 rad

φ = 0,3537·180/π = 20,26°

Jawaban

φ = 20,26°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 7,45 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·25/534071 = 7,45 MPa

Jawaban

τ_max = 7,45 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: C (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 32,5 kN, R₂ = 12,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 32,5, M_C = 50 kN·m, M_D = 37,5, M_E = 25, M_F = 12,5, M_G = 0

Jawaban

Tanda C: M_C = 50 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_B = −3 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·9 = 54 kN, bekerja di x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·9·4,5

R_B = 243/8 = 30,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 54 − 30,38 = 23,63 kN

Potong di B dan ambil bagian overstek

Beban pada overstek, w·a, bekerja di a/2 dari B dan menimbulkan momen negatif di atas tumpuan.

M_B = −w·a²/2 = −6·1²/2 = −3 kN·m

Jawaban

M_B = −3 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 68,05 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

badan: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·290 + 3360·140)/8560 = 231,1 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 260·20³/12 + 5200·(290 − 231,1)² = 1,82 × 10⁷ mm⁴

badan: 12·280³/12 + 3360·(140 − 231,1)² = 4,985 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,82 × 10⁷ + 4,985 × 10⁷ = 6,805 × 10⁷ mm⁴ = 68,05 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 68,05 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 161,5 × 10⁶ mm⁴

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 1300 mm², y = 333 mm

badan: A = 4340 mm², y = 173 mm

sayap bawah: A = 4500 mm², y = 9 mm

Titik berat

ȳ = (1300·333 + 4340·173 + 4500·9)/10140 = 120,7 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 130·10³/12 + 1300·212,3² = 5,859 × 10⁷ mm⁴

badan: 14·310³/12 + 4340·52,27² = 4,661 × 10⁷ mm⁴

sayap bawah: 250·18³/12 + 4500·111,7² = 5,63 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,859 × 10⁷ + 4,661 × 10⁷ + 5,63 × 10⁷

I_x = 1,615 × 10⁸ mm⁴ = 161,5 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 161,5 × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_xy = 88,32 MPa

Jari-jari yang diperlukan

C = (10 + 80)/2 = 45 MPa

R = σ₁ − C = 140 − 45 = 95 MPa

Tegangan geser

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 35²) = 88,32 MPa

Jawaban

τ_xy = 88,32 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 2,75

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 40 MPa, R = 50 MPa

σ₁ = 90 MPa, σ₂ = −10 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 100 MPa

n = 275/100 = 2,75

Jawaban

n = 2,75

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 25,25 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 8000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(3EI) = 8000·2000³/(3·1,32 × 10¹²) = 16,16 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 9,091 mm

Jumlahkan

δ = 16,16 + 9,091 = 25,25 mm

Jawaban

δ = 25,25 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: I_req = 230,1 × 10⁶ mm⁴

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·3000⁴/(384·11000·8,333) = 2,301 × 10⁸ mm⁴

I_req = 230,1 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_req = 230,1 × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 671,4 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/1750² = 671402 N = 671,4 kN

Jawaban

P_cr = 671,4 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 63,82 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 63,82 mm

Jawaban

d = 63,82 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 156,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials