Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
100 kNØ40110 GPaØ100/50800 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 800 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 100 kN. Cari pemendekan δ.

P = 100 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 30 mmBaja2 mØ 16 mmAluminium1 mP = 35 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 35 kNsegmen 1: Ø30 mm, 2 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
T = 250 N·md = 50 mmL = 3 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Tdo​ = 100 mm, di​ = 75 mm

Poros berongga meneruskan 15 kW pada 300 rpm. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

P = 15 kWN = 300 rpmdo = 100 mmdi = 75 mm
τmax = MPa
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 45 kNP2​ = 20 kNAB2 m2 m4 m

Balok sederhana menahan dua beban terpusat. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 8 mP1 = 45 kN di 2 mP2 = 20 kN di 4 m
Mmax = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
6 kN/m20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

20 kN @ 6 m6 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
240110t = 18ȳ = ?dimensi dalam mm

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 240 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 110 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 18 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 240 mmh = 110 mmt = 18 mm
ȳ = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
200 mm300 mm120 mm40 × 50xIx​ = ?

Sebuah pelat 200 mm × 300 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 40 mm dan setinggi 50 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 120 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 300 mmpotongan: 40 × 50 mmpusat lubang: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 60σy​ = 70τxy​ = −30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 60 MPa, σᵧ = 70 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = 60 MPaσy = 70 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​τxy​permukaan atas poros

Poros pejal berdiameter 20 mm menahan momen lentur sebesar 200 N·m bersama torsi 200 N·m. Di permukaan atas, tempat tegangan lentur bersifat tarik dan paling besar, cari tegangan geser sebidang maksimum τmax.

d = 20 mmM = 200 N·mT = 200 N·m
τmax = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 24 kNABδ0,5 m3,5 m

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 0,5 m dari A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 24 kNa = 0,5 mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 10 kN/mδL = 5 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 4 m25 × 100 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 140 kNL = 4 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 140 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 140 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,08896 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5890 = 8,993 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 100000·800/8,993 × 10⁸ = 0,08896 mm

Jawaban

δ = 0,08896 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 2,982 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 49,51 MPa
σ2 = 174,1 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 49,51·2000/200000 = 0,4951 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 174,1·1000/70000 = 2,487 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,982 mm

Jawaban

δ = 2,982 mm
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 2,694 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(26000·613592) = 0,04701 rad
φ = 0,04701·180/π = 2,694°

Jawaban

φ = 2,694°
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 3,557 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Momen inersia polar

J = π(100⁴ − 75⁴)/32 = 6,711 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 477465·50/6,711 × 10⁶ = 3,557 MPa

Jawaban

τmax = 3,557 MPa
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 87,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

ΣMA = 0: RB·8 = 45·2 + 20·4
RB = 170/8 = 21,25 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 21,25 = 43,75 kN

Momen di bawah tiap beban

Ambil bagian di kiri tiap beban.

di bawah P1: M = RA·2 = 43,75·2 = 87,5 kN·m
di bawah P2: M = RB·4 = 21,25·4 = 85 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 87,5 kN·m (di bawah P1)

Jawaban

Mmax = 87,5 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 2 kN, R2 = 42 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = −1, MC = −8, MD = −21, ME = −40 kN·m, MF = −20, MG = 0

Jawaban

Tanda E: ME = −40 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 32,87 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A1 = 240·18 = 4320 mm², y1 = 9 mm
dua kaki: A2 = 2·18·92 = 3312 mm², y2 = 18 + 92/2 = 64 mm

Titik berat

ȳ = (4320·9 + 3312·64)/7632 = 32,87 mm

Jawaban

ȳ = 32,87 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 447,7 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (60000·150 − 2000·120)/(60000 − 2000) = 151 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·300³/12 + 60000·−1,034² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

40·50³/12 + 2000·−31,03² = 2,343 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 447,7 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 447,7 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = −49,73 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−30, 60 − 70) = −99,46°

Sudut pada elemen

θp = −49,73°

Jawaban

θp = −49,73°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 180,1 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Tegangan di permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·20³) = 254,6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·20³) = 127,3 MPa
στxyCτmax​

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 127,3 MPa
R = √(127,3² + 127,3²) = 180,1 MPa

Jawaban

τmax = 180,1 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δP = 1,082 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 24000 N, a = 500 mm, L = 4000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa³/(3EI) = 24000·500³/(3·9,24 × 10¹¹) = 1,082 mm

Jawaban

δP = 1,082 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 83,71 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·5000⁴/(384·70000·13,89) = 8,371 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 83,71 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 83,71 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 22,49 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/2000² = 22489 N = 22,49 kN

Jawaban

Pcr = 22,49 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 167,8 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·140000 = 420000 N
KL = 2·4000 = 8000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·8000²/(π³·70000))^(1/4) = 167,8 mm

Jawaban

d = 167,8 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 190,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials