Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 25 mmBaja3 mP = 115 kN

Cari regangan aksial ε pada batang baja, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 25 mmL = 3 mE = 200 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø40100 GPaØ80/60400 mm

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 200 MPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa, tegangan izin 70 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPatabung: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
3.Torsi porosSedang
T = 1000 N·md = 40 mmL = 2,5 mφ = ?

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 75 kW pada 1000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 75 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 30 kNP2​ = 25 kNABC1 m5 m1 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P1 di antara tumpuan dan beban terpusat P2 di C. Cari momen lentur MB di tumpuan B. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 7 mP1 = 30 kN di 1 mP2 = 25 kN di 7 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m
MB = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 12 kN/mAB1 m2 m1 m

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 4 mw = 12 kN/m dari 1 sampai 3 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
180130t = 8ȳ = ?dimensi dalam mm

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 180 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 130 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 8 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 180 mmh = 130 mmt = 8 mm
ȳ = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
100 mm240 mm144 mm40 × 30xIx​ = ?

Sebuah pelat 100 mm × 240 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 40 mm dan setinggi 30 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 144 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 240 mmpotongan: 40 × 30 mmpusat lubang: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 100σy​ = −60τxy​ = −40MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = 100 MPaσy = −60 MPaτxy = −40 MPa
θp = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 10σy​ = −20τxy​ = 10MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 10 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τθ pada bidang yang normalnya diputar 35° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σx = 10 MPaσy = −20 MPaτxy = 10 MPaθ = 35°
τθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 11 kNABδ1 m5 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 1 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 11 kNa = 1 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 12 kN/mδL = 4 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (kayu struktural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 5 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 105 kNL = 4 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 105 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 105 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1171 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 115·1000/490,9 = 234,3 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 234,3/200000 = 0,001171 = 1171 µε

Jawaban

ε = 1171 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 329,9 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·2199 = 4,712 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,001, 0,0007) = 0,0007 (kuningan)

Beban terbesar

Pmax = 0,0007·4,712 × 10⁸ = 329867 N = 329,9 kN

Jawaban

Pmax = 329,9 kN
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 14,61 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2500/(39000·251327) = 0,2551 rad
φ = 0,2551·180/π = 14,61°

Jawaban

φ = 14,61°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 36,5 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·716197/(π·75)) = 36,5 mm

Jawaban

d = 36,5 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: MB = −25 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.

ΣMA = 0: RB·6 = 30·1 + 25·7
RB = 205/6 = 34,17 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 34,17 = 20,83 kN

Potong di B dan ambil bagian overstek

Hanya P2 yang bekerja pada overstek, dengan lengan momen a. Beban ini melenturkan balok ke atas di atas tumpuan (momen negatif).

MB = −P2·a = −25·1 = −25 kN·m

Jawaban

MB = −25 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 18 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, bekerja di x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 12·2·2
RB = 48/4 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 12/12 = 2 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 12·2 − 12·1²/2 = 18 kN·m

Jawaban

Mmax = 18 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 41,41 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A1 = 180·8 = 1440 mm², y1 = 4 mm
dua kaki: A2 = 2·8·122 = 1952 mm², y2 = 8 + 122/2 = 69 mm

Titik berat

ȳ = (1440·4 + 1952·69)/3392 = 41,41 mm

Jawaban

ȳ = 41,41 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 114,4 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (24000·120 − 1200·144)/(24000 − 1200) = 118,7 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·240³/12 + 24000·1,263² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

40·30³/12 + 1200·25,26² = 0,8559 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 114,4 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 114,4 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = −13,28 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−40, 100 − −60) = −26,57°

Sudut pada elemen

θp = −13,28°

Jawaban

θp = −13,28°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τθ = −10,68 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

τθ = −15·0,9397 + 10·0,342 = −10,68 MPa

Jawaban

τθ = −10,68 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δP = 2,598 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 11000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 11000·1000²·5000²/(3·5,88 × 10¹²·6000) = 2,598 mm

Jawaban

δP = 2,598 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 327,3 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·4000⁴/(384·11000·11,11) = 3,273 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 327,3 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 327,3 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 20,25 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3500² = 20249 N = 20,25 kN

Jawaban

Pcr = 20,25 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 57,37 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2,5·105000 = 262500 N
KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·262500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 57,37 mm

Jawaban

d = 57,37 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 139,4, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials