Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
250 kNØ40100 GPaØ120/50300 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 300 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 250 kN. Cari pemendekan δ.

P = 250 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 300 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 25 mmAluminium1,5 mØ 12 mmTembaga1,5 mP = 20 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 20 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
do​ = 40, di​ = 28 mmT = 250 N·mL = 0,8 m

Poros baja berongga (diameter luar 40 mm, diameter dalam 28 mm, panjang 0,8 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 250 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 250 N·mdo = 40 mmdi = 28 mmL = 0,8 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 30 mmT0​ = 400 N·mACBa = 1,2 mb = 1,5 m

Poros kuningan pejal berdiameter 30 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 400 N·m diberikan di C, 1,2 m dari A dan 1,5 m dari B. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

d = 30 mmT0 = 400 N·ma = 1,2 mb = 1,5 m
τmax = MPa
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 6 kN/mABpotongan2,5 m5,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
6 kN/m50 kN60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

50 kN @ 6 m60 kN @ 3 m6 kN/m, 0–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
200 mm200 mm140 mmØ40xIx​ = ?

Sebuah pelat 200 mm × 200 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 140 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1601528020xM = 40 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 40 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.

bf = 160 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 280 mmM = 40 kN·m
σatas = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 40σy​ = 90MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = 40 MPa dan σᵧ = 90 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 120 MPa?

σx = 40 MPaσy = 90 MPaσ1 = 120 MPa
τxy = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​τxy​permukaan poros

Poros pejal berdiameter 40 mm menahan gaya tekan aksial sebesar 110 kN bersama torsi 200 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ1.

d = 40 mmF = −110 kNT = 200 N·m
σ1 = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 15 kN/mABθ6 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari kemiringan θA balok di tumpuan A, dalam radian.

w = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Lendutan balokSulit
w = 15 kN/mδL = 5 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (kayu struktural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 5 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 100 kNL = 4 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 100 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 100 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,06324 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·9346 = 1,186 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 250000·300/1,186 × 10⁹ = 0,06324 mm

Jawaban

δ = 0,06324 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 3,14 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 40,74 MPa
σ2 = 176,8 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 40,74·1500/70000 = 0,8731 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 176,8·1500/117000 = 2,267 mm
δ = δ1 + δ2 = 3,14 mm

Jawaban

δ = 3,14 mm
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,75 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Sudut puntir

T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 0,8 m = 800 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 250000·800/(80000·190984) = 0,01309 rad
φ = 0,01309·180/π = 0,75°

Jawaban

φ = 0,75°
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 41,92 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi TA + TB = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

TA + TB = 400
TA·a = TB·b
TA = 400·1,5/2,7 = 222,2 N·m
TB = 400·1,2/2,7 = 177,8 N·m

Tegangan geser maksimum

Yang lebih besar dari kedua torsi yang menentukan (diameter sama).

τmax = 16·222222/(π·30³) = 41,92 MPa

Jawaban

τmax = 41,92 MPa
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 41,25 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·8·4
RB = 192/8 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24potongan2,5 m5,5 m

Potong di x = 2,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 24·2,5 − 6·2,5·1,25 = 41,25 kN·m

Jawaban

Mx = 41,25 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 2 kN, R2 = 132 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = −1, MC = −8, MD = −21, ME = −100 kN·m, MF = −50, MG = 0

Jawaban

Tanda E: ME = −100 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 131,1 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (40000·100 − 1257·140)/(40000 − 1257) = 98,7 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·200³/12 + 40000·1,297² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·40⁴/64 + 1257·41,3² = 2,269 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 131,1 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 131,1 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σatas = 60,53 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 160·15 = 2400 mm², yf = 280 + 15/2 = 287,5 mm
badan: Aw = 20·280 = 5600 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·287,5 + 5600·140)/8000 = 184,3 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 160·15³/12 + 2400·(287,5 − 184,3)² = 2,563 × 10⁷ mm⁴
badan: 20·280³/12 + 5600·(140 − 184,3)² = 4,755 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,563 × 10⁷ + 4,755 × 10⁷ = 7,318 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 295 − 184,3 = 110,8 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·110,8/7,318 × 10⁷ = 60,53 MPa

Jawaban

σatas = 60,53 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 48,99 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (40 + 90)/2 = 65 MPa
R = σ1 − C = 120 − 65 = 55 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 25²) = 48,99 MPa

Jawaban

τxy = 48,99 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ1 = 2,804 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Tegangan di permukaan

σ = F/A = −110000/(π·40²/4) = −110000/1257 = −87,54 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·200000/(π·40³) = 15,92 MPa
στxyCσ1​σ2​

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = −43,77 MPa
R = √((−43,77)² + 15,92²) = 46,57 MPa
σ1 = C + R = 2,804 MPa
σ2 = C − R = −90,34 MPa

Jawaban

σ1 = 2,804 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: θA = 0,01205 rad

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Kemiringan θ = dv/dx adalah integral pertama dari M/(EI); dengan satuan yang konsisten hasilnya dalam radian.

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Kemiringan ujung

θA = wL³/(24EI) = 15·6000³/(24·1,12 × 10¹³) = 0,01205 rad

Jawaban

θA = 0,01205 rad

Itu sama dengan 0,6906°.

12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 799 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·5000⁴/(384·11000·13,89) = 7,99 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 799 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 799 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 7,087 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3500² = 7087 N = 7,087 kN

Jawaban

Pcr = 7,087 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 83,89 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·100000 = 300000 N
KL = 1·4000 = 4000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 83,89 mm

Jawaban

d = 83,89 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 190,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials