Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 10 mmTembaga1,5 mP = 80 kN

Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.

P = 80 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 117 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 40 mmTembaga2 mØ 12 mmKuningan0,5 mP = 75 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 75 kNsegmen 1: Ø40 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
T = 1000 N·md = 25 mmL = 0,5 mφ = ?

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 1000 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = ?20 kW, 750 rpm

Poros aluminium pejal meneruskan 20 kW pada 750 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 1° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 20 kWN = 750 rpmτallow = 40 MPaθallow = 1°/mG = 26 GPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 8 kN/mABpotongan2,5 m1,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
50 kN45 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

50 kN @ 12 m45 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
B = 100H = 150t = 6xdimensi dalam mm

Penampang persegi panjang berongga (kotak) memiliki lebar luar B = 100 mm, tinggi luar H = 150 mm, dan tebal dinding seragam t = 6 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

B = 100 mmH = 150 mmt = 6 mm
r = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1603020020xM = 15 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 15 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.

bf = 160 mmtf = 30 mmtw = 20 mmhw = 200 mmM = 15 kN·m
σatas = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 50τxy​ = −40MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa, dengan σz = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τabs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σx = 50 MPaσy = 0 MPaτxy = −40 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 20σy​ = −40τxy​ = −10MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (σz = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 355 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).

σx = 20 MPaσy = −40 MPaτxy = −10 MPaσY = 355 MPa
n =
11.Lendutan balokSedang
w = 5 kN/mδL = 3 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (baja)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 20 kN/mδL = 2,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (baja)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 4 md = 25 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 2,5 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 13,06 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 80·1000/78,54 = 1019 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1019/117000 = 0,008706 = 8706 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,008706·1500 mm = 13,06 mm

Jawaban

δ = 13,06 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 663,1 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 59,68 MPa
σ2 = 663,1 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 663,1 MPa

Jawaban

σmax = 663,1 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 9,338 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(80000·38350) = 0,163 rad
φ = 0,163·180/π = 9,338°

Jawaban

φ = 9,338°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 48,9 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 254,6 N·m = 254648 N·mm
dτ = ∛(16·254648/(π·40)) = 31,89 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·254648/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))1/4 = 48,9 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(31,89, 48,9) = 48,9 mm

Jawaban

d = 48,9 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 15 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, bekerja di x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 8·4·2
RB = 64/4 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16potongan2,5 m1,5 m

Potong di x = 2,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 16·2,5 − 8·2,5·1,25 = 15 kN·m

Jawaban

Mx = 15 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 10 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 26 kN, R2 = 69 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 52, MC = 14, MD = −24, ME = −62, MF = −100 kN·m, MG = 0

Jawaban

Tanda F: MF = −100 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 55,67 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

b = 88 mm, h = 138 mm
A = BH − bh = 100·150 − 88·138 = 2856 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 8,852 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(8,852 × 10⁶/2856) = 55,67 mm

Jawaban

r = 55,67 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σatas = 23,72 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 160·30 = 4800 mm², yf = 200 + 30/2 = 215 mm
badan: Aw = 20·200 = 4000 mm², yw = 200/2 = 100 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4800·215 + 4000·100)/8800 = 162,7 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 160·30³/12 + 4800·(215 − 162,7)² = 1,348 × 10⁷ mm⁴
badan: 20·200³/12 + 4000·(100 − 162,7)² = 2,907 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,348 × 10⁷ + 2,907 × 10⁷ = 4,255 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 230 − 162,7 = 67,27 mm
σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·67,27/4,255 × 10⁷ = 23,72 MPa

Jawaban

σatas = 23,72 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τabs = 47,17 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σmax − σmin)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama sebidang

C = 25 MPa, R = √(25² + (−40)²) = 47,17 MPa
σ1 = 72,17 MPa, σ2 = −22,17 MPa, σz = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(94,34, 72,17, 22,17)/2 = 47,17 MPa

Jawaban

τabs = 47,17 MPa

Di sini σ₁ dan σ₂ berlawanan tanda, jadi maksimum sebidang R juga merupakan maksimum absolut.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 6,376

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = −10 MPa, R = 31,62 MPa
σ1 = 21,62 MPa, σ2 = −41,62 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(21,62² − 21,62·(−41,62) + (−41,62)²) = 55,68 MPa
n = 355/55,68 = 6,376

Jawaban

n = 6,376

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 2,109 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 2,109 mm

Jawaban

δ = 2,109 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 7,324 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·2500⁴/(384·200000·6,944) = 7,324 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 7,324 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 7,324 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 2,366 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4000² = 2366 N = 2,366 kN

Jawaban

Pcr = 2,366 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 17,27 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/12,5 = 200

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Jawaban

σcr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials