Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
300 kNØ20120 GPaØ120/70600 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa). Keduanya panjangnya 600 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 300 kN. Cari pemendekan δ.

P = 300 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
80 kN12400 mm300 mmØ40Ø30σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 80 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.Torsi porosSedang
T = 250 N·md = 40 mmL = 2 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 40 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
do​ = ?75 kW, 300 rpm

Poros berongga harus meneruskan 75 kW pada 300 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,5 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

P = 75 kWN = 300 rpmdi/do = 0,5τallow = 40 MPa
do = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
10 kN/m10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

10 kN @ 2 m10 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 10 kN/mAB3 m1 m

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 4 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 3 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
100 mm150 mm90 mmØ30xIx​ = ?

Sebuah pelat 100 mm × 150 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 30 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 90 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 150 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
120 mm150 mm105 mm40 × 40xIx​ = ?

Sebuah pelat 120 mm × 150 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 40 mm dan setinggi 40 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 105 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 150 mmpotongan: 40 × 40 mmpusat lubang: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −50σy​ = 10τxy​ = 40MPa

Suatu titik memiliki σₓ = −50 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Elemen diputar 50° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σx = −50 MPaσy = 10 MPaτxy = 40 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −10σy​ = −40τxy​ = 20MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −10 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τθ pada bidang yang normalnya diputar 40° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σx = −10 MPaσy = −40 MPaτxy = 20 MPaθ = 40°
τθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 2 kN/mδL = 5 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (baja)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 15 kN/mδL = 5 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (kayu struktural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 5 m30 × 100 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 1 md = 25 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1879 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·7461 = 9,582 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 300000·600/9,582 × 10⁸ = 0,1879 mm

Jawaban

δ = 0,1879 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 33,05 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 110000·706,9/300 = 259181 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 80000·259181/887500 = 23363 N

Tegangan

σ2 = 23363/706,9 = 33,05 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 33,05 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 4,384 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(26000·251327) = 0,07652 rad
φ = 0,07652·180/π = 4,384°

Jawaban

φ = 4,384°
4.Torsi poros

Jawaban: do = 68,7 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 2387 N·m = 2,387 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2,387 × 10⁶/(π·40·0,9375)) = 68,7 mm
di = 0,5·68,7 = 34,35 mm

Jawaban

do = 68,7 mm

Poros pejal memerlukan d = 67,24 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 68,33 kN, R2 = 61,67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 116,7, MC = 173,3, MD = 190 kN·m, ME = 166,7, MF = 103,3, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 190 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 17,58 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, bekerja di x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·3·1,5
RB = 45/4 = 11,25 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 11,25 = 18,75 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 18,75/10 = 1,875 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 18,75·1,875 − 10·1,875²/2 = 17,58 kN·m

Jawaban

Mmax = 17,58 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 27,92 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (15000·75 − 706,9·90)/(15000 − 706,9) = 74,26 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·150³/12 + 15000·0,7418² = 28,13 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·15,74² = 0,2149 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 27,92 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 27,92 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 31,96 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (18000·75 − 1600·105)/(18000 − 1600) = 72,07 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·150³/12 + 18000·2,927² = 33,9 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

40·40³/12 + 1600·32,93² = 1,948 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 31,96 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 31,96 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σy′ = −64,6 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σy′ = −20 − (−30)·(−0,1736) − 40·0,9848 = −64,6 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σx′ = 24,6 MPa, σx′ + σy′ = −40 = σx + σy

Jawaban

σy′ = −64,6 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τθ = −11,3 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

τθ = −15·0,9848 + 20·0,1736 = −11,3 MPa

Jawaban

τθ = −11,3 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 6,782 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 6,782 mm

Jawaban

δmax = 6,782 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 799 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·5000⁴/(384·11000·13,89) = 7,99 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 799 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 799 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 24,87 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/2500² = 24871 N = 24,87 kN

Jawaban

Pcr = 24,87 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 6,747 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/6,25 = 320

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

Jawaban

σcr = 6,747 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials