Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12600 mm500 mmØ25Ø50δ = 0,5 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 25 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari perunggu (diameter 50 mm, panjang 500 mm, E = 110 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,5 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
2.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø40110 GPaØ100/50400 mm

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 200 MPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 110 GPa, tegangan izin 100 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPatabung: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.Torsi porosSedang
d1​ = 50 mmd2​ = 40 mmT = 200 N·mABC3 m1,5 m

Poros kuningan pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 50 mm dan panjang 3 m; segmen BC berdiameter 40 mm dan panjang 1,5 m. Torsi 200 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

T = 200 N·md1 = 50 mm, L1 = 3 md2 = 40 mm, L2 = 1,5 m
τmax = MPa
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 20 kW pada 3000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 20 kWN = 3000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
M0​ = 45 kN·mAB3 m7 m

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M0 = 45 kN·m di x = 3 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur Mx tepat di kiri kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mM0 = 45 kN·m searah jarum jam, di 3 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 10 kN/mP = 80 kNAB1 m7 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 8 mP = 80 kN di 1 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 8 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
220170t = 18ȳ = ?dimensi dalam mm

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 220 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 170 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 18 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 220 mmh = 170 mmt = 18 mm
ȳ = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
150 mm200 mm120 mm30 × 40xIx​ = ?

Sebuah pelat 150 mm × 200 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 30 mm dan setinggi 40 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 120 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 200 mmpotongan: 30 × 40 mmpusat lubang: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −10σy​ = 30τxy​ = 30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −10 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = −10 MPaσy = 30 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 10σy​ = −10τxy​ = 10MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 10 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 30° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 10 MPaσy = −10 MPaτxy = 10 MPaθ = 30°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 29 kNABδ3 m5 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 3 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 29 kNa = 3 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 10 kN/mP = 24 kNδL = 2,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 24 kNw = 10 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 25 kNL = 1 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 25 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 25 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 59,34 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1963) = 2,315 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,5/8,427 × 10⁻⁶ = 59336 N = 59,34 kN

Jawaban

P = 59,34 kN
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 817,5 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5890 = 8,993 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,001, 0,0009091) = 0,0009091 (perunggu)

Beban terbesar

Pmax = 0,0009091·8,993 × 10⁸ = 817528 N = 817,5 kN

Jawaban

Pmax = 817,5 kN
3.Torsi poros

Jawaban: τmax = 15,92 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Tegangan pada tiap segmen

T = 200 N·m = 200000 N·mm
τAB = 16·200000/(π·50³) = 8,149 MPa
τBC = 16·200000/(π·40³) = 15,92 MPa

Jawaban

τmax = 15,92 MPa
4.Torsi poros

Jawaban: d = 15,94 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 20000/314,2 = 63,66 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·63662/(π·80)) = 15,94 mm

Jawaban

d = 15,94 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = −13,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: RB·L − M0 = 0. Kesetimbangan vertikal: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 45/10 = 4,5 kN (ke atas)
RA = −RB = −4,5 kN (ke bawah)

Potong tepat di kiri kopel

Bagian kiri hanya memuat RA.

Mx = RA·a = −4,5·3 = −13,5 kN·m

Jawaban

Mx = −13,5 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 125 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, bekerja di x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 80·1 + 10·8·4
RB = 400/8 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 160 − 50 = 110 kN

Di mana V = 0?

RA − P − w·x0 = 0 → x0 = (110 − 80)/10 = 3 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − P·(x0 − 1) − w·x0²/2 = 125 kN·m

Jawaban

Mmax = 125 kN·m

Terjadi di x = 3 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 58,31 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A1 = 220·18 = 3960 mm², y1 = 9 mm
dua kaki: A2 = 2·18·152 = 5472 mm², y2 = 18 + 152/2 = 94 mm

Titik berat

ȳ = (3960·9 + 5472·94)/9432 = 58,31 mm

Jawaban

ȳ = 58,31 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 99,34 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (30000·100 − 1200·120)/(30000 − 1200) = 99,17 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·200³/12 + 30000·0,8333² = 100 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

30·40³/12 + 1200·20,83² = 0,6808 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 99,34 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 99,34 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = 61,85 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·30, −10 − 30) = 123,7°

Sudut pada elemen

θp = 61,85°

Jawaban

θp = 61,85°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 13,66 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 0 + 10·0,5 + 10·0,866 = 13,66 MPa

Jawaban

σθ = 13,66 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δP = 32,37 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 29000 N, a = 3000 mm, b = 5000 mm, L = 8000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 29000·3000²·5000²/(3·8,4 × 10¹²·8000) = 32,37 mm

Jawaban

δP = 32,37 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 15,36 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 24000 N, w = 10 N/mm, L = 2500 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 24000·2500³/(48·8,4 × 10¹¹) = 9,301 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 6,055 mm

Jumlahkan

δmax = 9,301 + 6,055 = 15,36 mm

Jawaban

δmax = 15,36 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 248,1 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1000² = 248050 N = 248,1 kN

Jawaban

Pcr = 248,1 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 37,9 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2·25000 = 50000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 37,9 mm

Jawaban

d = 37,9 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 211,1, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials