Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 500 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 150 kN. Cari pemendekan δ.

P = 150 kNbatang: Ø30 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 30 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 80 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan pejal sepanjang 0,5 m menahan torsi 750 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 1,5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 750 N·mL = 0,5 mG = 39 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal berdiameter 50 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 100 N·m diberikan di C, 1,5 m dari A dan 0,8 m dari B. Cari sudut rotasi φ_C penampang C, dalam derajat.

d = 50 mmT₀ = 100 N·ma = 1,5 mb = 0,8 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari gaya geser V_x pada potongan x = 3 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 3 m

V_x = kN

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 3 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 25 kN di 3 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 100 mm × 150 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 40 mm dan setinggi 50 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 52,5 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 150 mmpotongan: 40 × 50 mmpusat lubang: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Elemen diputar 20° searah jarum jam. Cari tegangan normal σ_y′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σ_x = 100 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 350 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σ_x = 120 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 2 m dari tumpuan A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 12 kNa = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δ_max.

P = 5 kNw = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 140 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 140 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1289 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·4006 = 5,82 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 150000·500/5,82 × 10⁸ = 0,1289 mm

Jawaban

δ = 0,1289 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 37,85 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 110000·1257/400 = 345575 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 80000·345575/581195 = 47568 N

Tegangan

σ₂ = 47568/1257 = 37,85 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 37,85 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: d = 43,98 mm

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·500/(39000·0,02618) = 367281 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 43,98 mm

Jawaban

d = 43,98 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 0,1874 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·0,8/2,3 = 34,78 N·m

T_B = 100·1,5/2,3 = 65,22 N·m

Rotasi C

Gunakan segmen AC: dijepit di A dan menahan T_A.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 34783·1500/(26000·613592) = 0,00327 rad = 0,1874°

Jawaban

φ_C = 0,1874°

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: V_x = 3 kN

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·8·4

R_B = 96/8 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Potong di x = 3 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri potongan)

V_x = 12 − 3·3 = 3 kN

Jawaban

V_x = 3 kN

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 60 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·3 + 10·5·2,5

R_B = 200/5 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 40 = 35 kN

Potong di x = 3 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 35·3 − 10·3·1,5 = 60 kN·m

Jawaban

M_x = 60 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 30,23 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

badan: A_w = 20·220 = 4400 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·225 + 4400·110)/5600 = 134,6 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·10³/12 + 1200·(225 − 134,6)² = 9,807 × 10⁶ mm⁴

badan: 20·220³/12 + 4400·(110 − 134,6)² = 2,042 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,807 × 10⁶ + 2,042 × 10⁷ = 3,023 × 10⁷ mm⁴ = 30,23 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 30,23 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 26,54 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (15000·75 − 2000·52,5)/(15000 − 2000) = 78,46 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·150³/12 + 15000·−3,462² = 28,3 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

40·50³/12 + 2000·−25,96² = 1,765 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 26,54 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 26,54 × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_y′ = 9,295 MPa

Persamaan transformasi untuk muka y′

σ_y′ = 45 − 55·0,766 − 10·(−0,6428) = 9,295 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σ_x′ = 80,7 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 90 = σ_x + σ_y

Jawaban

σ_y′ = 9,295 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 2,573

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 65 MPa, R = 68,01 MPa

σ₁ = 133 MPa, σ₂ = −3,007 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 136 MPa

n = 350/136 = 2,573

Jawaban

n = 2,573

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 11,43 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 12000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 12000·2000²·3000²/(3·2,52 × 10¹²·5000) = 11,43 mm

Jawaban

δ_P = 11,43 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 1,237 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 5000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm, EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(48EI) = 5000·1500³/(48·9,24 × 10¹¹) = 0,3805 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·1500⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 0,8561 mm

Jumlahkan

δ_max = 0,3805 + 0,8561 = 1,237 mm

Jawaban

δ_max = 1,237 mm

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 3,312 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·4000 = 8000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/8000² = 3312 N = 3,312 kN

Jawaban

P_cr = 3,312 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 77,13 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 77,13 mm

Jawaban

d = 77,13 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 181,5, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials