Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
100 kNØ20110 GPaØ100/60600 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 600 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 100 kN. Cari pemendekan δ.

P = 100 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
80 kN12400 mm300 mmØ30Ø60σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari tembaga (diameter 60 mm, panjang 300 mm, E = 120 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 80 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
3.Torsi porosSedang
d = ?T = 100 N·mL = 2 m

Poros aluminium pejal sepanjang 2 m menahan torsi 100 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 0,5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 100 N·mL = 2 mG = 26 GPaφallow = 0,5°
d = mm
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 75 kW pada 750 rpm tanpa tegangan geser melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 75 kWN = 750 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
50 kN15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

50 kN @ 6 m15 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 4 kN/mAB1 m3 m

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari jarak x0 dari A ke potongan tempat momen lentur paling besar.

L = 4 mw = 4 kN/m dari 1 sampai 4 m
x0 = m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
210300168xdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 210 mm dan setebal 16 mm, tinggi total 300 mm, dan badan setebal 8 mm. Cari modulus penampang elastisnya Sx untuk lentur terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 210 mmH = 300 mmtf = 16 mmtw = 8 mm
Sx = × 10³ mm³
8.Titik berat & momen inersiaSulit
180101808xM = 50 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 50 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.

bf = 180 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 180 mmM = 50 kN·m
σatas = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −80σy​ = −10τxy​ = 30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −80 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = −80 MPaσy = −10 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
35°D = 800 mm, t = 5 mm, p = 1 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 800 mm dan tebal dinding 5 mm berisi gas bertekanan gauge 1 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 35° terhadap sumbu silinder. Cari besar tegangan geser |τn| yang bekerja sepanjang kampuh las.

D = 800 mmt = 5 mmp = 1 MPaα = 35°
|τn| = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 7 kNABδ1 m5 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 1 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 7 kNa = 1 mL = 6 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 5 kN/mP = 9 kNδL = 3 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 9 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 6 m20 × 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 45 kNL = 3 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 45 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 45 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,09744 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·5027 = 6,158 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 100000·600/6,158 × 10⁸ = 0,09744 mm

Jawaban

δ = 0,09744 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 21,56 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm
k₂ = 120000·2827/300 = 1,131 × 10⁶ N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 80000·1,131 × 10⁶/1,484 × 10⁶ = 60952 N

Tegangan

σ2 = 60952/2827 = 21,56 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 21,56 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: d = 54,74 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad
J = TL/(Gφ) = 100000·2000/(26000·0,008727) = 881474 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)1/4 = 54,74 mm

Jawaban

d = 54,74 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 45,99 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·50)) = 45,99 mm

Jawaban

d = 45,99 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 37,5 kN, R2 = 27,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 75, MC = 120, MD = 165 kN·m, ME = 110, MF = 55, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 165 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: x0 = 2,125 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 4·3·2,5
RB = 30/4 = 7,5 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 7,5 = 4,5 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 4,5/4 = 2,125 m

Jawaban

x0 = 2,125 m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Sx = 989,9 × 10³ mm³

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 300 − 2·16 = 268 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (210·300³ − 202·268³)/12
Ix = 1,485 × 10⁸ mm⁴

Modulus penampang

c = H/2 = 150 mm
Sx = I/c = 1,485 × 10⁸/150
Sx = 989853 mm³ = 989,9 × 10³ mm³

Jawaban

Sx = 989,9 × 10³ mm³
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σatas = 212,3 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 180·10 = 1800 mm², yf = 180 + 10/2 = 185 mm
badan: Aw = 8·180 = 1440 mm², yw = 180/2 = 90 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1800·185 + 1440·90)/3240 = 142,8 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 180·10³/12 + 1800·(185 − 142,8)² = 3,224 × 10⁶ mm⁴
badan: 8·180³/12 + 1440·(90 − 142,8)² = 7,899 × 10⁶ mm⁴
Ix = 3,224 × 10⁶ + 7,899 × 10⁶ = 1,112 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 190 − 142,8 = 47,22 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·47,22/1,112 × 10⁷ = 212,3 MPa

Jawaban

σatas = 212,3 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = 69,7 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·30, −80 − −10) = 139,4°

Sudut pada elemen

θp = 69,7°

Jawaban

θp = 69,7°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: |τn| = 18,79 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 1·400/5 = 80 MPa
σa = pr/(2t) = 40 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

|τn| = (80 − 40)·sin 35°·cos 35° = 18,79 MPa

Jawaban

|τn| = 18,79 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δP = 7,365 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 7000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 7000·1000²·5000²/(3·1,32 × 10¹²·6000) = 7,365 mm

Jawaban

δP = 7,365 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 5,873 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 9000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 9000·3000³/(48·1,76 × 10¹²) = 2,876 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 2,996 mm

Jumlahkan

δmax = 2,876 + 2,996 = 5,873 mm

Jawaban

δmax = 5,873 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 5,849 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/3000² = 5849 N = 5,849 kN

Jawaban

Pcr = 5,849 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 84,16 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·45000 = 135000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·135000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 84,16 mm

Jawaban

d = 84,16 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 285,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials