Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 20 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari perunggu (diameter 60 mm, panjang 400 mm, E = 110 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,3 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 25 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari aluminium (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 70 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 20 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 75 mm dan panjang 1,5 m; segmen BC berdiameter 30 mm dan panjang 1,2 m. Torsi 750 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 750 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros baja pejal berdiameter 30 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 100 N·m diberikan di C, 0,5 m dari A dan 2 m dari B. Cari sudut rotasi φ_C penampang C, dalam derajat.

d = 30 mmT₀ = 100 N·ma = 0,5 mb = 2 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

55 kN @ 8 m6 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari jarak x_c dari A ke titik balik lentur di antara tumpuan (tempat momen lentur berganti tanda).

L = 10,5 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 10,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 8 m

x_c = m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 260 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 190 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 12 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 260 mmh = 190 mmt = 12 mm

ȳ = mm

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 25 kN·m. Cari tegangan lentur σ_bawah di tepi bawah.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mmM = 25 kN·m

σ_bawah = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 100 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 20° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 100 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (baja)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil I_req yang memenuhi batas ini.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (baja)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 32,45 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·2827) = 1,286 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,3/9,244 × 10⁻⁶ = 32454 N = 32,45 kN

Jawaban

P = 32,45 kN

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 9,532 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 70000·1257/300 = 293215 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 20000·293215/489565 = 11979 N

Tegangan

σ₂ = 11979/1257 = 9,532 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 9,532 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 8,365 °

Momen inersia polar

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 750 N·m = 750000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 750000·1500/(80000·3,106 × 10⁶) = 0,004527 rad

φ_BC = 750000·1200/(80000·79522) = 0,1415 rad

Puntiran total

φ_C = 0,004527 + 0,1415 = 0,146 rad = 8,365°

Jawaban

φ_C = 8,365°

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 0,3603 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·2/2,5 = 80 N·m

T_B = 100·0,5/2,5 = 20 N·m

Rotasi C

Gunakan segmen AC: dijepit di A dan menahan T_A.

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 80000·500/(80000·79522) = 0,006288 rad = 0,3603°

Jawaban

φ_C = 0,3603°

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 39,33 kN, R₂ = 51,67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 78,67, M_C = 145,3, M_D = 188, M_E = 206,7 kN·m, M_F = 103,3, M_G = 0

Jawaban

Tanda E: M_E = 206,7 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: x_c = 7,219 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·10,5 = 52,5 kN, bekerja di x̄ = 5,25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·10,5·5,25

R_B = 275,6/8 = 34,45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52,5 − 34,45 = 18,05 kN

Momen nol

Di antara tumpuan, M(x) = R_A·x − w·x²/2. Selain di x = 0, momen bernilai nol di x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·18,05/5 = 7,219 m

Jawaban

x_c = 7,219 m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 60,9 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A₁ = 260·12 = 3120 mm², y₁ = 6 mm

dua kaki: A₂ = 2·12·178 = 4272 mm², y₂ = 12 + 178/2 = 101 mm

Titik berat

ȳ = (3120·6 + 4272·101)/7392 = 60,9 mm

Jawaban

ȳ = 60,9 mm

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_bawah = 119,4 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

badan: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·195 + 3600·90)/7200 = 142,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·30³/12 + 3600·(195 − 142,5)² = 1,019 × 10⁷ mm⁴

badan: 20·180³/12 + 3600·(90 − 142,5)² = 1,964 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,019 × 10⁷ + 1,964 × 10⁷ = 2,983 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 142,5 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·142,5/2,983 × 10⁷ = 119,4 MPa

Jawaban

σ_bawah = 119,4 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 63,25 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((100 − −20)/2)² + 20²) = 63,25 MPa

Jawaban

τ_max = 63,25 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 97,65 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 35 + 65·0,766 + 20·0,6428 = 97,65 MPa

Jawaban

σ_θ = 97,65 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 33,33 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·8000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 33,33 mm

Jawaban

δ_max = 33,33 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: I_req = 72 × 10⁶ mm⁴

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·8000⁴/(384·200000·22,22) = 7,2 × 10⁷ mm⁴

I_req = 72 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_req = 72 × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 186,5 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1050² = 186500 N = 186,5 kN

Jawaban

P_cr = 186,5 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 17,27 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Jawaban

σ_cr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials