Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.

P = 70 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 10 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal sepanjang 2,5 m menahan torsi 1500 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 0,5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 1500 N·mL = 2,5 mG = 80 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Torsi porosSulit

Poros baja pejal berdiameter 60 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 750 N·m diberikan di C, 1,2 m dari A dan 1,5 m dari B. Cari sudut rotasi φ_C penampang C, dalam derajat.

d = 60 mmT₀ = 750 N·ma = 1,2 mb = 1,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari jarak x_c dari A ke titik balik lentur di antara tumpuan (tempat momen lentur berganti tanda).

L = 7 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 7 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m

x_c = m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil I simetris memiliki sayap selebar 160 mm dan setebal 24 mm, tinggi total 200 mm, dan badan setebal 12 mm. Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 160 mmH = 200 mmt_f = 24 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I simetris memiliki sayap selebar 220 mm dan setebal 16 mm, tinggi total 340 mm, dan badan setebal 6 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 120 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur σ_j di pertemuan badan dan sayap atas.

B = 220 mmH = 340 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 140 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 60 MPa, σᵧ = 90 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 45° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (baja)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil I_req yang memenuhi batas ini.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 75 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 75 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,485 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 70·1000/706,9 = 99,03 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 99,03/100000 = 0,0009903 = 990,3 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,0009903·1500 mm = 1,485 mm

Jawaban

δ = 1,485 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 31,83 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 10,39 MPa

σ₂ = 31,83 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 31,83 MPa

Jawaban

σ_max = 31,83 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: d = 86 mm

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·2500/(80000·0,008727) = 5,371 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 86 mm

Jawaban

d = 86 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 0,2814 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·1,5/2,7 = 416,7 N·m

T_B = 750·1,2/2,7 = 333,3 N·m

Rotasi C

Gunakan segmen AC: dijepit di A dan menahan T_A.

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 416667·1200/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,004912 rad = 0,2814°

Jawaban

φ_C = 0,2814°

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 9,375 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, bekerja di x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·4·2

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Potong di x = 1,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 10·1,5 − 5·1,5·0,75 = 9,375 kN·m

Jawaban

M_x = 9,375 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: x_c = 5,833 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·7 = 56 kN, bekerja di x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·7·3,5

R_B = 196/6 = 32,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 32,67 = 23,33 kN

Momen nol

Di antara tumpuan, M(x) = R_A·x − w·x²/2. Selain di x = 0, momen bernilai nol di x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·23,33/8 = 5,833 m

Jawaban

x_c = 5,833 m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 63,35 × 10⁶ mm⁴

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 200 − 2·24 = 152 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·200³ − 148·152³)/12

I_x = 6,335 × 10⁷ mm⁴ = 63,35 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 63,35 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_j = 92,62 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 340 − 2·16 = 308 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·340³ − 214·308³)/12

I_x = 1,995 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 170 − 16 = 154 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·154/1,995 × 10⁸ = 92,62 MPa

Jawaban

σ_j = 92,62 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = −64,9 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = −50/78,1 = −0,6402, sin 2θ_s = −60/78,1 = −0,7682

2θ_s = atan2(−60, −50) = −129,8°

Sudut pada elemen

θ_s = −64,9°

periksa: θ_s − θ_p = −64,9 − (−19,9) = −45°

Jawaban

θ_s = −64,9°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 65 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 75 + −15·0 + −10·1 = 65 MPa

Jawaban

σ_θ = 65 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 10 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 8000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·8000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 10 mm

Jawaban

δ_max = 10 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: I_req = 8,036 × 10⁶ mm⁴

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·2000⁴/(384·70000·5,556) = 8,036 × 10⁶ mm⁴

I_req = 8,036 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_req = 8,036 × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 4,284 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/6000² = 4284 N = 4,284 kN

Jawaban

P_cr = 4,284 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 83,4 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·75000 = 187500 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·187500·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 83,4 mm

Jawaban

d = 83,4 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 239,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials