Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang kuningan, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 50 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 200 MPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa, tegangan izin 100 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatabung: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 100 kW pada 1450 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 100 kWN = 1450 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 3,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari momen lentur M_B di tumpuan B. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 10 mtumpuan di x = 0 dan x = 8 m

M_B = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 120 mm × 200 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 50 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 140 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 200 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 200 mm × 200 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 50 mm dan setinggi 30 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 80 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 200 mmpotongan: 50 × 30 mmpusat lubang: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = 110 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −20 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 50° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = −20 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 14 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (baja)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Lendutan balokSulit

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban terpusat P di tengah bentang. EI konstan. Cari reaksi R_B di topang.

L = 6 mP = 10 kN di 3 m

R_B = kN

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 80 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 80 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1019 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 50·1000/490,9 = 101,9 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 101,9/100000 = 0,001019 = 1019 µε

Jawaban

ε = 1019 µε

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 361,3 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·2199 = 3,613 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,001, 0,001) = 0,001 (kuningan)

Beban terbesar

P_max = 0,001·3,613 × 10⁸ = 361283 N = 361,3 kN

Jawaban

P_max = 361,3 kN

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 5,542 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(26000·79522) = 0,09673 rad

φ = 0,09673·180/π = 5,542°

Jawaban

φ = 5,542°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 30,83 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 658572·25/534071 = 30,83 MPa

Jawaban

τ_max = 30,83 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 8,75 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·6·3

R_B = 36/6 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Potong di x = 3,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 6·3,5 − 2·3,5·1,75 = 8,75 kN·m

Jawaban

M_x = 8,75 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_B = −8 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, bekerja di x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·10·5

R_B = 200/8 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 25 = 15 kN

Potong di B dan ambil bagian overstek

Beban pada overstek, w·a, bekerja di a/2 dari B dan menimbulkan momen negatif di atas tumpuan.

M_B = −w·a²/2 = −4·2²/2 = −8 kN·m

Jawaban

M_B = −8 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (24000·100 − 1963·140)/(24000 − 1963) = 96,44 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·200³/12 + 24000·3,564² = 80,3 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·50⁴/64 + 1963·43,56² = 4,033 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 76,27 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 132,6 × 10⁶ mm⁴

Titik berat

ȳ = (40000·100 − 1500·80)/(40000 − 1500) = 100,8 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·200³/12 + 40000·−0,7792² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

50·30³/12 + 1500·−20,78² = 0,7602 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 132,6 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 132,6 × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 72,71 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = 115 MPa, R = √((−5)² + 30²) = 30,41 MPa

σ₁ = 145,4 MPa, σ₂ = 84,59 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(60,83, 145,4, 84,59)/2 = 72,71 MPa

Jawaban

τ_abs = 72,71 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = 72,69 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −−65·0,9848 + −50·−0,1736 = 72,69 MPa

Jawaban

τ_θ = 72,69 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 4,327 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 14000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(3EI) = 14000·2000³/(3·1,14 × 10¹³) = 3,275 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 1,053 mm

Jumlahkan

δ = 3,275 + 1,053 = 4,327 mm

Jawaban

δ = 4,327 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: R_B = 3,125 kN

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang R_B sendiri mengangkat ujung bebas sebesar R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·10/16 = 3,125 kN

Jawaban

R_B = 3,125 kN

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 34,97 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/2100² = 34969 N = 34,97 kN

Jawaban

P_cr = 34,97 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 47,42 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 47,42 mm

Jawaban

d = 47,42 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 147,6, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials