Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 30 mmKuningan1 mP = 75 kN

Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.

P = 75 kNd = 30 mmL = 1 mE = 100 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø30120 GPaØ120/70300 mm

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 250 MPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa, tegangan izin 60 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPatabung: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.Torsi porosSedang
do​ = 60, di​ = 42 mmT = 2000 N·mL = 1,2 m

Poros kuningan berongga (diameter luar 60 mm, diameter dalam 42 mm, panjang 1,2 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 2000 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 2000 N·mdo = 60 mmdi = 42 mmL = 1,2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 5 kW pada 1500 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 5 kWN = 1500 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
15 kN35 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

15 kN @ 5 m35 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 24 kN/mAB1 m3 m1 m

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 5 mw = 24 kN/m dari 1 sampai 4 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
xD = 200d = 180dimensi dalam mm

Pipa bulat memiliki diameter luar D = 200 mm dan diameter dalam d = 180 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

D = 200 mmd = 180 mm
r = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
120 mm150 mm60 mm40 × 50xIx​ = ?

Sebuah pelat 120 mm × 150 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 40 mm dan setinggi 50 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 60 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 150 mmpotongan: 40 × 50 mmpusat lubang: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 120τxy​ = −30MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Elemen diputar 25° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σx = 120 MPaσy = 0 MPaτxy = −30 MPaθ = 25°
σy′ = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 50σy​ = 40τxy​ = −30MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 40 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (σz = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 355 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).

σx = 50 MPaσy = 40 MPaτxy = −30 MPaσY = 355 MPa
n =
11.Lendutan balokSedang
w = 12 kN/mδL = 2 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 2 kN/mδL = 4 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (baja)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 1 md = 20 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 1 md = 25 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,061 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 75·1000/706,9 = 106,1 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 106,1/100000 = 0,001061 = 1061 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,001061·1000 mm = 1,061 mm

Jawaban

δ = 1,061 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 518,4 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·7461 = 1,037 × 10⁹ N

Regangan penentu

ε = min(0,00125, 0,0005) = 0,0005 (tembaga)

Beban terbesar

Pmax = 0,0005·1,037 × 10⁹ = 518363 N = 518,4 kN

Jawaban

Pmax = 518,4 kN
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 3,647 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Sudut puntir

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 1,2 m = 1200 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1200/(39000·966855) = 0,06365 rad
φ = 0,06365·180/π = 3,647°

Jawaban

φ = 3,647°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 12,93 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·31831/(π·75)) = 12,93 mm

Jawaban

d = 12,93 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: B (x = 1 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 31,67 kN, R2 = 18,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 31,67 kN·m, MC = 28,33, MD = 25, ME = 21,67, MF = 18,33, MG = 0

Jawaban

Tanda B: MB = 31,67 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 63 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 24·3 = 72 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 24·3·2,5
RB = 180/5 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 36 = 36 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 36/24 = 2,5 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 36·2,5 − 24·1,5²/2 = 63 kN·m

Jawaban

Mmax = 63 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 67,27 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

A = π(D² − d²)/4 = 5969 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,701 × 10⁷ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(2,701 × 10⁷/5969) = 67,27 mm

Jawaban

r = 67,27 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 32,83 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (18000·75 − 2000·60)/(18000 − 2000) = 76,88 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·150³/12 + 18000·−1,875² = 33,81 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

40·50³/12 + 2000·−16,88² = 0,9862 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 32,83 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 32,83 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σy′ = 44,41 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σy′ = 60 − 60·0,6428 − (−30)·0,766 = 44,41 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σx′ = 75,59 MPa, σx′ + σy′ = 120 = σx + σy

Jawaban

σy′ = 44,41 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 5,124

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = 45 MPa, R = 30,41 MPa
σ1 = 75,41 MPa, σ2 = 14,59 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(75,41² − 75,41·14,59 + 14,59²) = 69,28 MPa
n = 355/69,28 = 5,124

Jawaban

n = 5,124

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 4,202 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 4,202 mm

Jawaban

δmax = 4,202 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 3 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·4000⁴/(384·200000·11,11) = 3 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 3 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 3 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 11,07 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/700² = 11074 N = 11,07 kN

Jawaban

Pcr = 11,07 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 26,99 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 1·1000 = 1000 mm
KL/r = 1000/6,25 = 160

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Jawaban

σcr = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials