Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 12 mmBaja0,5 mP = 10 kN

Cari pertambahan panjang δ batang baja akibat beban aksial.

P = 10 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 25 mmAluminium1,5 mØ 20 mmAluminium0,5 mP = 95 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 95 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
do​ = 50, di​ = 25 mmT = 1000 N·mL = 0,5 m

Poros baja berongga (diameter luar 50 mm, diameter dalam 25 mm, panjang 0,5 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 1000 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 1000 N·mdo = 50 mmdi = 25 mmL = 0,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 50 mmTB​ = 400 N·mTC​ = 1000 N·mABC1 m1,2 m

Poros baja pejal berdiameter 50 mm dijepit di A. Torsi 400 N·m bekerja di B, 1 m dari A, dan torsi 1000 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 1,2 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φC ujung C, dalam derajat.

d = 50 mmTB = 400 N·mTC = 1000 N·mAB = 1 mBC = 1,2 mG = 80 GPa
φC = °
5.Gaya geser & momen lenturSedang
15 kN/m50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

50 kN @ 6 m15 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 6 kN/mP = 55 kNABpotongan2 m0,5 m1,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mP = 55 kN di 2 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
1002024016xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
170290203001810xdimensi dalam mm

Profil I las memiliki sayap atas 170 × 20 mm, badan setinggi 300 mm dan setebal 10 mm, dan sayap bawah 290 × 18 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 170 × 20 mmbadan: 10 × 300 mmsayap bawah: 290 × 18 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 100σy​ = 110τxy​ = 50MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = 100 MPaσy = 110 MPaτxy = 50 MPa
θp = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 140σy​ = −50τxy​ = 30MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 140 MPa, σᵧ = −50 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 355 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).

σx = 140 MPaσy = −50 MPaτxy = 30 MPaσY = 355 MPa
n =
11.Lendutan balokSedang
w = 15 kN/mδL = 5 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 15 kN/mδL = 5 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (kayu struktural)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 5 md = 25 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 2,5 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,221 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 10·1000/113,1 = 88,42 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 88,42/200000 = 0,0004421 = 442,1 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,0004421·500 mm = 0,221 mm

Jawaban

δ = 0,221 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 302,4 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 193,5 MPa
σ2 = 302,4 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 302,4 MPa

Jawaban

σmax = 302,4 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,6225 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Sudut puntir

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 0,5 m = 500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·500/(80000·575243) = 0,01086 rad
φ = 0,01086·180/π = 0,6225°

Jawaban

φ = 0,6225°
4.Torsi poros

Jawaban: φC = 2,101 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi dalam

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC − TB = 1000 − 400 = 600 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 600000·1000/(80000·613592) = 0,01222 rad
φBC = 1 × 10⁶·1200/(80000·613592) = 0,02445 rad

Puntiran ujung C

φC = 0,01222 + 0,02445 = 0,03667 rad → |φC| = 2,101°

Jawaban

φC = 2,101°
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 115 kN, R2 = 115 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 200, MC = 340, MD = 420 kN·m, ME = 340, MF = 200, MG = 0

Jawaban

Tanda D: MD = 420 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 52,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, bekerja di x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·2 + 6·4·2
RB = 158/4 = 39,5 kN
ΣFy = 0: RA = 79 − 39,5 = 39,5 kN
w = 6 kN/mP = 55 kNABRA​ = 39,5RB​ = 39,5potongan2 m0,5 m1,5 m

Potong di x = 2,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 39,5·2,5 − 55·(2,5 − 2) − 6·2,5·1,25 = 52,5 kN·m

Jawaban

Mx = 52,5 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 40,72 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 240 + 20/2 = 250 mm
badan: Aw = 16·240 = 3840 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·250 + 3840·120)/5840 = 164,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 100·20³/12 + 2000·(250 − 164,5)² = 1,468 × 10⁷ mm⁴
badan: 16·240³/12 + 3840·(120 − 164,5)² = 2,604 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,468 × 10⁷ + 2,604 × 10⁷ = 4,072 × 10⁷ mm⁴ = 40,72 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 40,72 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 234,7 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 3400 mm², y = 328 mm
badan: A = 3000 mm², y = 168 mm
sayap bawah: A = 5220 mm², y = 9 mm

Titik berat

ȳ = (3400·328 + 3000·168 + 5220·9)/11620 = 143,4 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 170·20³/12 + 3400·184,6² = 1,16 × 10⁸ mm⁴
badan: 10·300³/12 + 3000·24,61² = 2,432 × 10⁷ mm⁴
sayap bawah: 290·18³/12 + 5220·134,4² = 9,442 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,16 × 10⁸ + 2,432 × 10⁷ + 9,442 × 10⁷
Ix = 2,347 × 10⁸ mm⁴ = 234,7 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 234,7 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = 47,86 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·50, 100 − 110) = 95,71°

Sudut pada elemen

θp = 47,86°

Jawaban

θp = 47,86°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 1,991

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = 45 MPa, R = 99,62 MPa
σ1 = 144,6 MPa, σ2 = −54,62 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(144,6² − 144,6·(−54,62) + (−54,62)²) = 178,3 MPa
n = 355/178,3 = 1,991

Jawaban

n = 1,991

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 14,53 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 14,53 mm

Jawaban

δmax = 14,53 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 799 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·5000⁴/(384·11000·13,89) = 7,99 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 799 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 799 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 6,056 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2500² = 6056 N = 6,056 kN

Jawaban

Pcr = 6,056 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 69,09 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/12,5 = 100

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Jawaban

σcr = 69,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials