Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
250 kNØ30120 GPaØ80/50400 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa). Keduanya panjangnya 400 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 250 kN. Cari pemendekan δ.

P = 250 kNbatang: Ø30 mm, E = 200 GPatabung: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 35 mmAluminium2 mØ 16 mmTembaga1,5 mP = 40 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 40 kNsegmen 1: Ø35 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
d = 10 mmT = 30 N·m300 mmφ = 6,57°

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 10 mm dipuntir oleh torsi 30 N·m. Kedua ujung panjang ukur 300 mm berputar 6,57° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 30 N·md = 10 mmL = 300 mmφ = 6,57°
G = GPa
4.Torsi porosSulit
d = ?15 kW, 1450 rpm

Poros kuningan pejal meneruskan 15 kW pada 1450 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 60 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,75° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 15 kWN = 1450 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0,75°/mG = 39 GPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
P1​ = 50 kNP2​ = 20 kNABC5 m3 m1,5 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 1,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Balok menahan beban terpusat P1 di antara tumpuan dan beban terpusat P2 di C. Cari momen lentur Mx di bawah beban P1. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 9,5 mP1 = 50 kN di 5 mP2 = 20 kN di 9,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 8 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 3 kN/mABC6 m2,5 m

Balok bertumpu pada sendi di A dan rol di B, dan menjorok (overstek) sejauh 2,5 m melewati B hingga ujung bebas C. Beban merata w bekerja di sepanjang A–C. Cari jarak xc dari A ke titik balik lentur di antara tumpuan (tempat momen lentur berganti tanda).

L = 8,5 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 8,5 mtumpuan di x = 0 dan x = 6 m
xc = m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
1201530020xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 120 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
1603010018xM = 50 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 50 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.

bf = 160 mmtf = 30 mmtw = 18 mmhw = 100 mmM = 50 kN·m
σatas = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −10σy​ = −30τxy​ = 40MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −10 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = −10 MPaσy = −30 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 110σy​ = −80τxy​ = 50MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 110 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (σz = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 275 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σx = 110 MPaσy = −80 MPaτxy = 50 MPaσY = 275 MPa
n =
11.Lendutan balokSedang
w = 15 kN/mδL = 2,5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
P = 24 kNABδ3 m1 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δmax balok.

P = 24 kNb = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (baja)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 3 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 3 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1965 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·3063 = 5,089 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 250000·400/5,089 × 10⁸ = 0,1965 mm

Jawaban

δ = 0,1965 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 198,9 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 41,58 MPa
σ2 = 198,9 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 198,9 MPa

Jawaban

σmax = 198,9 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: G = 79,95 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴
φ = 6,57·π/180 = 0,1147 rad

Modulus geser

T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·300/(981,7·0,1147) = 79947 MPa
G = 79,95 GPa

Jawaban

G = 79,95 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 37,47 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 98,79 N·m = 98786 N·mm
dτ = ∛(16·98786/(π·60)) = 20,32 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·98786/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))1/4 = 37,47 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(20,32, 37,47) = 37,47 mm

Jawaban

d = 37,47 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 75 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok. Beban overstek juga memberi momen terhadap A.

ΣMA = 0: RB·8 = 50·5 + 20·9,5
RB = 440/8 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 55 = 15 kN

Potong di bawah P1 dan ambil bagian kiri

Mx = RA·5 = 15·5 = 75 kN·m

Jawaban

Mx = 75 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: xc = 4,958 m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok, termasuk beban pada overstek.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·8,5 = 25,5 kN, bekerja di x̄ = 4,25 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·8,5·4,25
RB = 108,4/6 = 18,06 kN
ΣFy = 0: RA = 25,5 − 18,06 = 7,438 kN

Momen nol

Di antara tumpuan, M(x) = RA·x − w·x²/2. Selain di x = 0, momen bernilai nol di x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·7,438/3 = 4,958 m

Jawaban

xc = 4,958 m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 79,38 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 120·15 = 1800 mm², yf = 300 + 15/2 = 307,5 mm
badan: Aw = 20·300 = 6000 mm², yw = 300/2 = 150 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1800·307,5 + 6000·150)/7800 = 186,3 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·15³/12 + 1800·(307,5 − 186,3)² = 2,645 × 10⁷ mm⁴
badan: 20·300³/12 + 6000·(150 − 186,3)² = 5,293 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,645 × 10⁷ + 5,293 × 10⁷ = 7,938 × 10⁷ mm⁴ = 79,38 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 79,38 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σatas = 221,4 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 160·30 = 4800 mm², yf = 100 + 30/2 = 115 mm
badan: Aw = 18·100 = 1800 mm², yw = 100/2 = 50 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4800·115 + 1800·50)/6600 = 97,27 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 160·30³/12 + 4800·(115 − 97,27)² = 1,868 × 10⁶ mm⁴
badan: 18·100³/12 + 1800·(50 − 97,27)² = 5,522 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,868 × 10⁶ + 5,522 × 10⁶ = 7,391 × 10⁶ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 130 − 97,27 = 32,73 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·32,73/7,391 × 10⁶ = 221,4 MPa

Jawaban

σatas = 221,4 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 41,23 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((−10 − −30)/2)² + 40²) = 41,23 MPa

Jawaban

τmax = 41,23 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 1,281

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = 15 MPa, R = 107,4 MPa
σ1 = 122,4 MPa, σ2 = −92,35 MPa, σ3 = 0

Tresca

σmax − σmin = 214,7 MPa
n = 275/214,7 = 1,281

Jawaban

n = 1,281

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 18,36 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2500 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 15·2500⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 18,36 mm

Jawaban

δ = 18,36 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 3,106 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 24000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Letak maksimum

Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Defleksi maksimum

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 3,106 mm

Jawaban

δmax = 3,106 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 110,2 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/6000² = 110245 N = 110,2 kN

Jawaban

Pcr = 110,2 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 69,94 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/12,5 = 168

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/168² = 69,94 MPa

Jawaban

σcr = 69,94 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials