Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 10 mmBaja2,5 mP = 40 kN

Cari regangan aksial ε pada batang baja, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
100 kN12500 mm200 mmØ25Ø60σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 25 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari aluminium (diameter 60 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.Torsi porosSedang
T = 200 N·md = 40 mmL = 3 mφ = ?

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 40 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 50 mmT0​ = 1500 N·mACBa = 1,5 mb = 1 m

Poros kuningan pejal berdiameter 50 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 1500 N·m diberikan di C, 1,5 m dari A dan 1 m dari B. Cari torsi reaksi TA di dinding A.

d = 50 mmT0 = 1500 N·ma = 1,5 mb = 1 m
TA = N·m
5.Gaya geser & momen lenturSedang
M0​ = 20 kN·mAB1 m3 m

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M0 = 20 kN·m di x = 1 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur Mx tepat di kiri kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mM0 = 20 kN·m searah jarum jam, di 1 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 6 kN/mP = 20 kNABpotongan5 m5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 10 mP = 20 kN di 5 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 10 mx = 5 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
xD = 170d = 150dimensi dalam mm

Pipa bulat memiliki diameter luar D = 170 mm dan diameter dalam d = 150 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

D = 170 mmd = 150 mm
r = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
2601530020xM negatifdimensi dalam mm

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 40 MPa untuk tarik dan 100 MPa untuk tekan. Cari momen lentur negatif terbesar Mallow yang dapat ditahan balok (nyatakan besarnya).

bf = 260 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 300 mmσt,allow = 40 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 150σy​ = 80τxy​ = −50MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 150 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Elemen diputar 25° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σx = 150 MPaσy = 80 MPaτxy = −50 MPaθ = 25°
σy′ = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 50σy​ = 120τxy​ = −60MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (σz = 0). Cari tegangan ekuivalen von Mises σvM.

σx = 50 MPaσy = 120 MPaτxy = −60 MPa
σvM = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 20 kN/mδL = 2 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Lendutan balokSulit
P = 7 kNP = 7 kNABδ2 m2 m2 m

Balok sederhana menahan dua beban terpusat P yang sama di titik sepertiga bentang (L/3 dari tiap tumpuan). Dengan superposisi, cari lendutan tengah bentang δmax.

P = 7 kNL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 6 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 115 kNL = 6 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 115 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 115 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 2546 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 40·1000/78,54 = 509,3 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 509,3/200000 = 0,002546 = 2546 µε

Jawaban

ε = 2546 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 29,51 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm
k₂ = 70000·2827/200 = 989602 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 100000·989602/1,186 × 10⁶ = 83444 N

Tegangan

σ2 = 83444/2827 = 29,51 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 29,51 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,71 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(80000·251327) = 0,02984 rad
φ = 0,02984·180/π = 1,71°

Jawaban

φ = 1,71°
4.Torsi poros

Jawaban: TA = 600 N·m

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi TA + TB = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

TA + TB = 1500
TA·a = TB·b
TA = 1500·1/2,5 = 600 N·m
TB = 1500·1,5/2,5 = 900 N·m

Jawaban

TA = 600 N·m
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = −5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: RB·L − M0 = 0. Kesetimbangan vertikal: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 20/4 = 5 kN (ke atas)
RA = −RB = −5 kN (ke bawah)

Potong tepat di kiri kopel

Bagian kiri hanya memuat RA.

Mx = RA·a = −5·1 = −5 kN·m

Jawaban

Mx = −5 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 125 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, bekerja di x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·5 + 6·10·5
RB = 400/10 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
w = 6 kN/mP = 20 kNABRA​ = 40RB​ = 40potongan5 m5 m

Potong di x = 5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 40·5 − 6·5·2,5 = 125 kN·m

Jawaban

Mx = 125 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 56,68 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

A = π(D² − d²)/4 = 5027 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,615 × 10⁷ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(1,615 × 10⁷/5027) = 56,68 mm

Jawaban

r = 56,68 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Mallow = 40,29 kN·m

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Titik berat

ȳ = (3900·307,5 + 6000·150)/9900 = 212 mm
tepi atas: c = 315 − 212 = 103 mm

Momen inersia penampang

I = 260·15³/12 + 3900·95,45² + 20·300³/12 + 6000·62,05² = 1,037 × 10⁸ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen negatif: sisi atas tertarik, sisi bawah tertekan.

tepi atas: M = 40·1,037 × 10⁸/103 = 40,29 kN·m
tepi bawah: M = 100·1,037 × 10⁸/212 = 48,91 kN·m

Nilai yang menentukan

Mallow = min = 40,29 kN·m (tepi atas)

Jawaban

Mallow = 40,29 kN·m
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σy′ = 130,8 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σy′ = 115 − 35·0,6428 − (−50)·0,766 = 130,8 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σx′ = 99,2 MPa, σx′ + σy′ = 230 = σx + σy

Jawaban

σy′ = 130,8 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σvM = 147,3 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = 85 MPa, R = 69,46 MPa
σ1 = 154,5 MPa, σ2 = 15,54 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(154,5² − 154,5·15,54 + 15,54²) = 147,3 MPa

Jawaban

σvM = 147,3 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 6,645 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm
EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 6,645 mm

Jawaban

δmax = 6,645 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 6,389 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 7000 N, L = 6000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Satu beban di L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm
δ₁ = 3,194 mm

Jumlahkan kedua beban

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 6,389 mm

Jawaban

δmax = 6,389 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 27,56 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/3000² = 27561 N = 27,56 kN

Jawaban

Pcr = 27,56 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 101,7 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 101,7 mm

Jawaban

d = 101,7 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 236,1, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials