Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,5 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø40 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 120 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 20 mm dipuntir oleh torsi 75 N·m. Kedua ujung panjang ukur 250 mm berputar 0,85° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 75 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 0,85°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 75 kW pada 1800 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 75 kWN = 1800 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

55 kN @ 4 m6 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 15 kN di 1,5 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 240 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I las memiliki sayap atas 140 × 14 mm, badan setinggi 330 mm dan setebal 10 mm, dan sayap bawah 220 × 16 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 140 × 14 mmbadan: 10 × 330 mmsayap bawah: 220 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 10 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 10 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −20 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 45° searah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = −20 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 1,5 m dari A. Cari lendutan δ_P di bawah beban.

P = 30 kNa = 1,5 mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 150 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/300. Cari tinggi terkecil h_req penampang.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 150 mm

h_req = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 5 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 5 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 83,78 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1257) = 3,979 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,5/5,968 × 10⁻⁶ = 83776 N = 83,78 kN

Jawaban

P = 83,78 kN

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 1061 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 169,8 MPa

σ₂ = 1061 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 1061 MPa

Jawaban

σ_max = 1061 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: G = 80,46 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,85·π/180 = 0,01484 rad

Modulus geser

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·250/(15708·0,01484) = 80461 MPa

G = 80,46 GPa

Jawaban

G = 80,46 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 24,33 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 75000/188,5 = 397,9 N·m

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 397887·25/408885 = 24,33 MPa

Jawaban

τ_max = 24,33 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 34,33 kN, R₂ = 44,67 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 31,33, M_C = 56,67, M_D = 76, M_E = 89,33 kN·m, M_F = 44,67, M_G = 0

Jawaban

Tanda E: M_E = 89,33 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 21 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·1,5 + 2·5·2,5

R_B = 47,5/5 = 9,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 9,5 = 15,5 kN

Potong di x = 1,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 15,5·1,5 − 2·1,5·0,75 = 21 kN·m

Jawaban

M_x = 21 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 13,29 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 240·20 = 4800 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

badan: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·170 + 1600·80)/6400 = 147,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 240·20³/12 + 4800·(170 − 147,5)² = 2,59 × 10⁶ mm⁴

badan: 10·160³/12 + 1600·(80 − 147,5)² = 1,07 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,59 × 10⁶ + 1,07 × 10⁷ = 1,329 × 10⁷ mm⁴ = 13,29 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 13,29 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 185 × 10⁶ mm⁴

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 1960 mm², y = 353 mm

badan: A = 3300 mm², y = 181 mm

sayap bawah: A = 3520 mm², y = 8 mm

Titik berat

ȳ = (1960·353 + 3300·181 + 3520·8)/8780 = 150 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 140·14³/12 + 1960·203² = 8,077 × 10⁷ mm⁴

badan: 10·330³/12 + 3300·30,96² = 3,311 × 10⁷ mm⁴

sayap bawah: 220·16³/12 + 3520·142² = 7,109 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,077 × 10⁷ + 3,311 × 10⁷ + 7,109 × 10⁷

I_x = 1,85 × 10⁸ mm⁴ = 185 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 185 × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 53,15 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((10 − 80)/2)² + 40²) = 53,15 MPa

Jawaban

τ_max = 53,15 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 100 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 50 + −70·0 + −50·−1 = 100 MPa

Jawaban

σ_θ = 100 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_P = 4,018 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 30000 N, a = 1500 mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δ_P = Pa³/(3EI) = 30000·1500³/(3·8,4 × 10¹²) = 4,018 mm

Jawaban

δ_P = 4,018 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: h_req = 242,2 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δ_allow = L/300 = 5000/300 = 16,67 mm

Momen inersia yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·5000⁴/(384·11000·16,67) = 1,776 × 10⁸ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·1,776 × 10⁸/150)^1/3 = 242,2 mm

Jawaban

h_req = 242,2 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 68,54 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/1500² = 68539 N = 68,54 kN

Jawaban

P_cr = 68,54 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 22,42 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·5000 = 12500 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 22,42 mm

Jawaban

d = 22,42 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 249,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials