Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 400 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 45 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 400 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal meneruskan 75 kW pada 1000 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,75° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 75 kWN = 1000 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

55 kN @ 6 m10 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 50 kN di 1 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 300 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 140 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 8 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 300 mmh = 140 mmt = 8 mm

ȳ = mm

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 40 kN·m. Cari besar tegangan lentur σ_atas di tepi atas.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mmM = 40 kN·m

σ_atas = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 140 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Elemen diputar 40° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σ_y′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σ_x = 140 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 30° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 120 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Kantilever sepanjang L dijepit di A dan menahan beban terpusat P pada jarak a = 3,5 m dari A. Cari lendutan δ_B di ujung bebas B.

P = 11 kNa = 3,5 mL = 4 mE = 200 GPa (baja)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada b = 1,5 m dari tumpuan B. Cari lendutan maksimum δ_max balok.

P = 26 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,01689 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·8482 = 1,184 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 50000·400/1,184 × 10⁹ = 0,01689 mm

Jawaban

δ = 0,01689 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 6,056 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·1500/100000 = 0,9549 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 397,9·1500/117000 = 5,101 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,056 mm

Jawaban

δ = 6,056 mm

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 11,49 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(26000·38350) = 0,2006 rad

φ = 0,2006·180/π = 11,49°

Jawaban

φ = 11,49°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 68,04 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 716,2 N·m = 716197 N·mm

d_τ = ∛(16·716197/(π·40)) = 45,01 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·716197/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 68,04 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(45,01, 68,04) = 68,04 mm

Jawaban

d = 68,04 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 87,5 kN, R₂ = 87,5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 155, M_C = 270, M_D = 345 kN·m, M_E = 270, M_F = 155, M_G = 0

Jawaban

Tanda D: M_D = 345 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 31,25 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1 + 2·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 15 = 45 kN

Potong di x = 2,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 45·2,5 − 50·(2,5 − 1) − 2·2,5·1,25 = 31,25 kN·m

Jawaban

M_x = 31,25 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 36,77 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A₁ = 300·8 = 2400 mm², y₁ = 4 mm

dua kaki: A₂ = 2·8·132 = 2112 mm², y₂ = 8 + 132/2 = 74 mm

Titik berat

ȳ = (2400·4 + 2112·74)/4512 = 36,77 mm

Jawaban

ȳ = 36,77 mm

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_atas = 196 MPa

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 160 + 15/2 = 167,5 mm

badan: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·167,5 + 1600·80)/3400 = 126,3 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·15³/12 + 1800·(167,5 − 126,3)² = 3,086 × 10⁶ mm⁴

badan: 10·160³/12 + 1600·(80 − 126,3)² = 6,847 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,086 × 10⁶ + 6,847 × 10⁶ = 9,932 × 10⁶ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 175 − 126,3 = 48,68 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·48,68/9,932 × 10⁶ = 196 MPa

Jawaban

σ_atas = 196 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_y′ = 99,13 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σ_y′ = 80 − 60·0,1736 − (−30)·0,9848 = 99,13 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σ_x′ = 60,87 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 160 = σ_x + σ_y

Jawaban

σ_y′ = 99,13 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 30,54 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 45 + 75·0,5 + −60·0,866 = 30,54 MPa

Jawaban

σ_θ = 30,54 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_B = 41,5 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 11000 N, a = 3500 mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Lendutan di ujung bebas

Lendutan di titik beban ditambah kemiringan di titik beban dikali sisa panjang.

δ_P = Pa³/(3EI) = 34,18 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01465 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 41,5 mm

Jawaban

δ_B = 41,5 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 9,234 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 26000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Letak maksimum

Menyamakan kemiringan pada segmen yang lebih panjang dengan nol memberi letaknya.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

Defleksi maksimum

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 9,234 mm

Jawaban

δ_max = 9,234 mm

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 66,62 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/2000² = 66620 N = 66,62 kN

Jawaban

P_cr = 66,62 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 17,27 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Jawaban

σ_cr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials