Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
50 kNØ25100 GPaØ80/50600 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 600 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNbatang: Ø25 mm, E = 200 GPatabung: Ø80/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 600 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 30 mmBaja1,5 mØ 16 mmBaja1,5 mP = 25 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 25 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
do​ = ?T = 500 N·m

Poros berongga harus menahan torsi 500 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,5 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 500 N·mdi/do = 0,5τallow = 75 MPa
do = mm
4.Torsi porosSulit
d = 60 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 1,5 mb = 3 m

Poros kuningan pejal berdiameter 60 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 2000 N·m diberikan di C, 1,5 m dari A dan 3 m dari B. Cari sudut rotasi φC penampang C, dalam derajat.

d = 60 mmT0 = 2000 N·ma = 1,5 mb = 3 mG = 39 GPa
φC = °
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 8 kN/mABpotongan5,5 m0,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 5,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 5,5 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 3 kN/mP = 25 kNABpotongan2,5 m2 m1,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 4,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP = 25 kN di 2,5 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 4,5 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
100 mm300 mm90 mmØ30xIx​ = ?

Sebuah pelat 100 mm × 300 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 30 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 90 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 300 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
200 mm200 mm80 mm50 × 20xIx​ = ?

Sebuah pelat 200 mm × 200 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 50 mm dan setinggi 20 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 80 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 200 mmpotongan: 50 × 20 mmpusat lubang: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 160σy​ = 70τxy​ = 40MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 160 MPa, σᵧ = 70 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 160 MPaσy = 70 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 50σy​ = 80τxy​ = −20MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 50 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 60° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 50 MPaσy = 80 MPaτxy = −20 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 20 kN/mδL = 2 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (baja)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 4 kN/mδL = 8 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 4 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (baja)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 4 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 5 md = 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,07417 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·3063 = 4,045 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 50000·600/4,045 × 10⁸ = 0,07417 mm

Jawaban

δ = 0,07417 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,198 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 35,37 MPa
σ2 = 124,3 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 35,37·1500/200000 = 0,2653 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 124,3·1500/200000 = 0,9325 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,198 mm

Jawaban

δ = 1,198 mm
3.Torsi poros

Jawaban: do = 33,09 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·75·0,9375)) = 33,09 mm
di = 0,5·33,09 = 16,54 mm

Jawaban

do = 33,09 mm

Poros pejal memerlukan d = 32,38 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: φC = 2,309 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi TA + TB = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·3/4,5 = 1333 N·m
TB = 2000·1,5/4,5 = 666,7 N·m

Rotasi C

Gunakan segmen AC: dijepit di A dan menahan TA.

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 1,333 × 10⁶·1500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,04031 rad = 2,309°

Jawaban

φC = 2,309°
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 11 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·6·3
RB = 144/6 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 24RB​ = 24potongan5,5 m0,5 m

Potong di x = 5,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 24·5,5 − 8·5,5·2,75 = 11 kN·m

Jawaban

Mx = 11 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 25,75 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 25·2,5 + 3·6·3
RB = 116,5/6 = 19,42 kN
ΣFy = 0: RA = 43 − 19,42 = 23,58 kN
w = 3 kN/mP = 25 kNABRA​ = 23,58RB​ = 19,42potongan2,5 m2 m1,5 m

Potong di x = 4,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 23,58·4,5 − 25·(4,5 − 2,5) − 3·4,5·2,25 = 25,75 kN·m

Jawaban

Mx = 25,75 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 222,4 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (30000·150 − 706,9·90)/(30000 − 706,9) = 151,4 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·300³/12 + 30000·−1,448² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−61,45² = 2,709 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 222,4 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 222,4 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 132,9 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (40000·100 − 1000·80)/(40000 − 1000) = 100,5 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·200³/12 + 40000·−0,5128² = 133,3 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

50·20³/12 + 1000·−20,51² = 0,4541 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 132,9 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 132,9 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 60,21 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((160 − 70)/2)² + 40²) = 60,21 MPa

Jawaban

τmax = 60,21 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 55,18 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 65 + −15·−0,5 + −20·0,866 = 55,18 MPa

Jawaban

σθ = 55,18 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 1,736 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 1,736 mm

Jawaban

δmax = 1,736 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 48 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·8000⁴/(384·200000·22,22) = 4,8 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 48 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 48 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 77,24 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2800² = 77244 N = 77,24 kN

Jawaban

Pcr = 77,24 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 22,56 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
KL/r = 3500/20 = 175

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/175² = 22,56 MPa

Jawaban

σcr = 22,56 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials