Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 10 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 40 mm, panjang 200 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 50 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros berongga harus menahan torsi 250 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,75 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 60 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 250 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 75 kW pada 1450 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 75 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 5,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 2 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 50 kN di 4 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 100 mm × 200 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 140 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 200 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I las memiliki sayap atas 110 × 12 mm, badan setinggi 270 mm dan setebal 14 mm, dan sayap bawah 200 × 14 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 110 × 12 mmbadan: 14 × 270 mmsayap bawah: 200 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 10 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 420 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σ_x = 10 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (baja)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Lendutan balokSulit

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban terpusat P di tengah bentang. EI konstan. Cari besar momen lentur M_A di ujung jepit.

L = 5 mP = 35 kN di 2,5 m

M_A = kN·m

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 70 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 70 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 4547 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 25·1000/78,54 = 318,3 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 318,3/70000 = 0,004547 = 4547 µε

Jawaban

ε = 4547 µε

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 19,89 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 100000·1257/200 = 628319 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 50000·628319/1,257 × 10⁶ = 25000 N

Tegangan

σ₂ = 25000/1257 = 19,89 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 19,89 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: d_o = 31,43 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·60·0,6836)) = 31,43 mm

d_i = 0,75·31,43 = 23,57 mm

Jawaban

d_o = 31,43 mm

Poros pejal memerlukan d = 27,69 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 32,25 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·493929/(π·75)) = 32,25 mm

Jawaban

d = 32,25 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 4,125 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

Potong di x = 5,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 9·5,5 − 3·5,5·2,75 = 4,125 kN·m

Jawaban

M_x = 4,125 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 26 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·4 + 2·5·2,5

R_B = 225/5 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 45 = 15 kN

Potong di x = 2 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 15·2 − 2·2·1 = 26 kN·m

Jawaban

M_x = 26 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 64,4 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (20000·100 − 1257·140)/(20000 − 1257) = 97,32 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·200³/12 + 20000·2,682² = 66,81 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·40⁴/64 + 1257·42,68² = 2,415 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 64,4 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 64,4 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 100,1 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 1320 mm², y = 290 mm

badan: A = 3780 mm², y = 149 mm

sayap bawah: A = 2800 mm², y = 7 mm

Titik berat

ȳ = (1320·290 + 3780·149 + 2800·7)/7900 = 122,2 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 110·12³/12 + 1320·167,8² = 3,717 × 10⁷ mm⁴

badan: 14·270³/12 + 3780·26,77² = 2,567 × 10⁷ mm⁴

sayap bawah: 200·14³/12 + 2800·115,2² = 3,722 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,717 × 10⁷ + 2,567 × 10⁷ + 3,722 × 10⁷

I_x = 1,001 × 10⁸ mm⁴ = 100,1 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 100,1 × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 80,62 MPa

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((120 − −20)/2)² + −40²) = 80,62 MPa

Jawaban

τ_max = 80,62 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 4,2

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = −30 MPa, R = 50 MPa

σ₁ = 20 MPa, σ₂ = −80 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 100 MPa

n = 420/100 = 4,2

Jawaban

n = 4,2

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 24,41 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 5000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 10·5000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 24,41 mm

Jawaban

δ = 24,41 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: M_A = 32,81 kN·m

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang R_B sendiri mengangkat ujung bebas sebesar R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·35/16 = 10,94 kN

Momen di ujung jepit

Momen beban dan gaya topang terhadap A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 87,5 − 54,69 = 32,81 kN·m

Jawaban

M_A = 32,81 kN·m

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 27,56 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/750² = 27561 N = 27,56 kN

Jawaban

P_cr = 27,56 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 142,5 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 142,5 mm

Jawaban

d = 142,5 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 280,6, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials