Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 12 mmTembaga1 mP = 30 kN

Cari regangan aksial ε pada batang tembaga, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 12 mmL = 1 mE = 117 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 35 mmKuningan0,5 mØ 12 mmTembaga2 mP = 115 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 115 kNsegmen 1: Ø35 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Torsi porosSedang
do​ = ?T = 400 N·m

Poros berongga harus menahan torsi 400 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,8 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 400 N·mdi/do = 0,8τallow = 50 MPa
do = mm
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 100 kW pada 1000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 100 kWN = 1000 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
8 kN/m55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

55 kN @ 2 m8 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 2 kN/mP = 15 kNABpotongan3 m3 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 3 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP = 15 kN di 3 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
B = 160H = 175t = 10xdimensi dalam mm

Penampang persegi panjang berongga (kotak) memiliki lebar luar B = 160 mm, tinggi luar H = 175 mm, dan tebal dinding seragam t = 10 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

B = 160 mmH = 175 mmt = 10 mm
r = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
170380228xM = 80 kN·mdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 170 mm dan setebal 22 mm, tinggi total 380 mm, dan badan setebal 8 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 80 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur maksimum σmax pada penampang.

B = 170 mmH = 380 mmtf = 22 mmtw = 8 mmM = 80 kN·m
σmax = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −40σy​ = 10τxy​ = 30MPa

Suatu titik memiliki σₓ = −40 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Elemen diputar 20° searah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σx = −40 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPaθ = -20°
σy′ = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −30σy​ = 90τxy​ = 30MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 90 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Cari tegangan ekuivalen von Mises σvM.

σx = −30 MPaσy = 90 MPaτxy = 30 MPa
σvM = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 10 kN/mδL = 2 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 20 kN/mP = 28 kNδL = 4 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 28 kNw = 20 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 1,5 md = 25 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 3 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 2267 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 30·1000/113,1 = 265,3 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 265,3/117000 = 0,002267 = 2267 µε

Jawaban

ε = 2267 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 17,98 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 119,5 MPa
σ2 = 1017 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 119,5·500/100000 = 0,5976 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 1017·2000/117000 = 17,38 mm
δ = δ1 + δ2 = 17,98 mm

Jawaban

δ = 17,98 mm
3.Torsi poros

Jawaban: do = 41,02 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·50·0,5904)) = 41,02 mm
di = 0,8·41,02 = 32,81 mm

Jawaban

do = 41,02 mm

Poros pejal memerlukan d = 34,41 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 49,54 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·40)) = 49,54 mm

Jawaban

d = 49,54 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: C (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 60,67 kN, R2 = 42,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 56,67, MC = 105,3 kN·m, MD = 91, ME = 68,67, MF = 38,33, MG = 0

Jawaban

Tanda C: MC = 105,3 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 31,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·3 + 2·6·3
RB = 81/6 = 13,5 kN
ΣFy = 0: RA = 27 − 13,5 = 13,5 kN
w = 2 kN/mP = 15 kNABRA​ = 13,5RB​ = 13,5potongan3 m3 m

Potong di x = 3 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 13,5·3 − 2·3·1,5 = 31,5 kN·m

Jawaban

Mx = 31,5 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 66,68 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

b = 140 mm, h = 155 mm
A = BH − bh = 160·175 − 140·155 = 6300 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 2,801 × 10⁷ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(2,801 × 10⁷/6300) = 66,68 mm

Jawaban

r = 66,68 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σmax = 57,3 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 380 − 2·22 = 336 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (170·380³ − 162·336³)/12
Ix = 2,653 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 190 mm
σ = M·y/I = 8 × 10⁷·190/2,653 × 10⁸ = 57,3 MPa

Jawaban

σmax = 57,3 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σy′ = 23,43 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σy′ = −15 − (−25)·0,766 − 30·(−0,6428) = 23,43 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σx′ = −53,43 MPa, σx′ + σy′ = −30 = σx + σy

Jawaban

σy′ = 23,43 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σvM = 120 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = 30 MPa, R = 67,08 MPa
σ1 = 97,08 MPa, σ2 = −37,08 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(97,08² − 97,08·(−37,08) + (−37,08)²) = 120 MPa

Jawaban

σvM = 120 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 7,937 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 7,937 mm

Jawaban

δ = 7,937 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 26,07 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 28000 N, w = 20 N/mm, L = 4000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 28000·4000³/(48·3,99 × 10¹²) = 9,357 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 16,71 mm

Jumlahkan

δmax = 9,357 + 16,71 = 26,07 mm

Jawaban

δmax = 26,07 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 34,33 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1050² = 34331 N = 34,33 kN

Jawaban

Pcr = 34,33 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 49,35 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/15 = 200

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Jawaban

σcr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials