Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
50 kNØ40110 GPaØ120/60500 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 500 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 40 mmKuningan0,5 mØ 20 mmTembaga0,5 mP = 110 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 110 kNsegmen 1: Ø40 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 0,5 m, tembaga (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
do​ = 80, di​ = 56 mmT = 2000 N·mL = 1,5 m

Poros baja berongga (diameter luar 80 mm, diameter dalam 56 mm, panjang 1,5 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 2000 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 2000 N·mdo = 80 mmdi = 56 mmL = 1,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = ?10 kW, 1500 rpm

Poros kuningan pejal meneruskan 10 kW pada 1500 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 50 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 1° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 10 kWN = 1500 rpmτallow = 50 MPaθallow = 1°/mG = 39 GPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
M0​ = 45 kN·mAB4 m1 m

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M0 = 45 kN·m di x = 4 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur Mx tepat di kiri kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mM0 = 45 kN·m searah jarum jam, di 4 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 12 kN/mAB5 m1 m

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 6 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 5 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
150 mm150 mm45 mmØ30xIx​ = ?

Sebuah pelat 150 mm × 150 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 30 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 45 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 150 mmd = 30 mmpusat lubang: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
2203028014xM = 30 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 30 kN·m. Cari besar tegangan lentur σatas di tepi atas.

bf = 220 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 280 mmM = 30 kN·m
σatas = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −70σy​ = −30τxy​ = −10MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −70 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = −70 MPaσy = −30 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 40σy​ = −40τxy​ = −30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 40 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 15° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 40 MPaσy = −40 MPaτxy = −30 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 12 kN/mP = 10 kNABδ2 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 10 kNw = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 8 kN/mδL = 4 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2 m30 × 100 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 110 kNL = 5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 110 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 110 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (baja)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,02111 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·8482 = 1,184 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 50000·500/1,184 × 10⁹ = 0,02111 mm

Jawaban

δ = 0,02111 mm
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 350,1 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 87,54 MPa
σ2 = 350,1 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 350,1 MPa

Jawaban

σmax = 350,1 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,7031 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Sudut puntir

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
L = 1,5 m = 1500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1500/(80000·3,056 × 10⁶) = 0,01227 rad
φ = 0,01227·180/π = 0,7031°

Jawaban

φ = 0,7031°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 31,24 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm
dτ = ∛(16·63662/(π·50)) = 18,65 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·63662/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))1/4 = 31,24 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(18,65, 31,24) = 31,24 mm

Jawaban

d = 31,24 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = −36 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: RB·L − M0 = 0. Kesetimbangan vertikal: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 45/5 = 9 kN (ke atas)
RA = −RB = −9 kN (ke bawah)

Potong tepat di kiri kopel

Bagian kiri hanya memuat RA.

Mx = RA·a = −9·4 = −36 kN·m

Jawaban

Mx = −36 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 51,04 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·5·2,5
RB = 150/6 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 25 = 35 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 35/12 = 2,917 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 35·2,917 − 12·2,917²/2 = 51,04 kN·m

Jawaban

Mmax = 51,04 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 41,49 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (22500·75 − 706,9·45)/(22500 − 706,9) = 75,97 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·150³/12 + 22500·−0,973² = 42,21 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−30,97² = 0,7179 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 41,49 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 41,49 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σatas = 25,62 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 220·30 = 6600 mm², yf = 280 + 30/2 = 295 mm
badan: Aw = 14·280 = 3920 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6600·295 + 3920·140)/10520 = 237,2 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 220·30³/12 + 6600·(295 − 237,2)² = 2,251 × 10⁷ mm⁴
badan: 14·280³/12 + 3920·(140 − 237,2)² = 6,268 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,251 × 10⁷ + 6,268 × 10⁷ = 8,519 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi atas berjarak h − ȳ dari sumbu.

y = 310 − 237,2 = 72,76 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·72,76/8,519 × 10⁷ = 25,62 MPa

Jawaban

σatas = 25,62 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = −76,72 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−10, −70 − −30) = −153,4°

Sudut pada elemen

θp = −76,72°

Jawaban

θp = −76,72°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 19,64 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 0 + 40·0,866 + −30·0,5 = 19,64 MPa

Jawaban

σθ = 19,64 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 28,79 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 10000 N, w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(3EI) = 10000·2000³/(3·1,76 × 10¹²) = 15,15 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 12·2000⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 13,64 mm

Jumlahkan

δ = 15,15 + 13,64 = 28,79 mm

Jawaban

δ = 28,79 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 34,29 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·4000⁴/(384·70000·11,11) = 3,429 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 34,29 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 34,29 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 444,1 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1000² = 444132 N = 444,1 kN

Jawaban

Pcr = 444,1 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 64,9 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2,5·110000 = 275000 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 64,9 mm

Jawaban

d = 64,9 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 154,1, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials