Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari aluminium (diameter 60 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,2 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 20 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 50 mm dan panjang 0,5 m; segmen BC berdiameter 40 mm dan panjang 1,2 m. Torsi 100 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 100 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 40 mm, L₂ = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros baja pejal berdiameter 20 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 100 N·m diberikan di C, 1,5 m dari A dan 2,5 m dari B. Cari sudut rotasi φ_C penampang C, dalam derajat.

d = 20 mmT₀ = 100 N·ma = 1,5 mb = 2,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 1 m dari A. Cari momen lentur M_A di tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 2,5 mP = 70 kN di 1 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 2,5 m

M_A = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 4 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mP = 60 kN di 3 mw = 10 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Pipa bulat memiliki diameter luar D = 270 mm dan diameter dalam d = 254 mm. Cari jari-jari girasinya r terhadap sumbu titik berat horizontal.

D = 270 mmd = 254 mm

r = mm

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 100 mm × 150 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 40 mm dan setinggi 40 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 52,5 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 150 mmpotongan: 40 × 40 mmpusat lubang: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = −40 MPa dan σᵧ = 30 MPa. Seberapa besar tegangan geser τ_xy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 85 MPa?

σ_x = −40 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 85 MPa

τ_xy = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 1500 mm dan tebal dinding 10 mm berisi gas bertekanan gauge 0,5 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 25° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σ_n yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 1500 mmt = 10 mmp = 0,5 MPaα = 25°

σ_n = MPa

11.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (baja)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Lendutan balokSulit

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari reaksi R_B di topang.

L = 5 mw = 6 kN/m

R_B = kN

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 90,74 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·2827) = 1,011 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,2/2,204 × 10⁻⁶ = 90737 N = 90,74 kN

Jawaban

P = 90,74 kN

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 176,8 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 28,29 MPa

σ₂ = 176,8 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 176,8 MPa

Jawaban

σ_max = 176,8 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 0,4003 °

Momen inersia polar

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 100000·500/(80000·613592) = 0,001019 rad

φ_BC = 100000·1200/(80000·251327) = 0,005968 rad

Puntiran total

φ_C = 0,001019 + 0,005968 = 0,006987 rad = 0,4003°

Jawaban

φ_C = 0,4003°

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 4,274 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·2,5/4 = 62,5 N·m

T_B = 100·1,5/4 = 37,5 N·m

Rotasi C

Gunakan segmen AC: dijepit di A dan menahan T_A.

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 62500·1500/(80000·15708) = 0,0746 rad = 4,274°

Jawaban

φ_C = 4,274°

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_A = −82,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Ambil bagian ujung bebas

P: −70·1 = −70 kN·m

w: −4·2,5²/2 = −12,5 kN·m

M_A = −70 − 12,5 = −82,5 kN·m

Jawaban

M_A = −82,5 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 170 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·3 + 10·8·4

R_B = 500/8 = 62,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 62,5 = 77,5 kN

Potong di x = 4 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 77,5·4 − 60·(4 − 3) − 10·4·2 = 170 kN·m

Jawaban

M_x = 170 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: r = 92,67 mm

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar. Jari-jari girasi r = √(I/A) adalah jarak tempat seluruh luas akan memberi I yang sama; besaran ini dipakai pada tekuk kolom.

Luas bersih dan momen inersia

A = π(D² − d²)/4 = 6585 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5,655 × 10⁷ mm⁴

Jari-jari girasi

r = √(I/A) = √(5,655 × 10⁷/6585) = 92,67 mm

Jawaban

r = 92,67 mm

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 27 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (15000·75 − 1600·52,5)/(15000 − 1600) = 77,69 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·150³/12 + 15000·−2,687² = 28,23 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

40·40³/12 + 1600·−25,19² = 1,228 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 27 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 27 × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_xy = 82,92 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (−40 + 30)/2 = −5 MPa

R = σ₁ − C = 85 − (−5) = 90 MPa

Tegangan geser

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(90² − 35²) = 82,92 MPa

Jawaban

τ_xy = 82,92 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_n = 34,15 MPa

Tegangan dinding

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 0,5·750/10 = 37,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 18,75 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σ_a) dan y mengelilingi keliling (σ_h). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σ_n = 18,75·sin²25° + 37,5·cos²25° = 34,15 MPa

Jawaban

σ_n = 34,15 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 33,75 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 5·6000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 33,75 mm

Jawaban

δ = 33,75 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: R_B = 11,25 kN

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang R_B sendiri mengangkat ujung bebas sebesar R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·5/8 = 11,25 kN

Jawaban

R_B = 11,25 kN

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 3,454 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·6000 = 6000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/6000² = 3454 N = 3,454 kN

Jawaban

P_cr = 3,454 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 21,93 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Jawaban

σ_cr = 21,93 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials