Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 16 mmAluminium0,5 mP = 15 kN

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
30 kN12600 mm400 mmØ20Ø30σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari aluminium (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 70 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 30 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
3.Torsi porosSedang
T = 250 N·md = 30 mmL = 2 mφ = ?

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 30 mmL = 2 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 60 mmTB​ = 1000 N·mTC​ = 100 N·mABC0,8 m2,5 m

Poros kuningan pejal berdiameter 60 mm dijepit di A. Torsi 1000 N·m bekerja di B, 0,8 m dari A, dan torsi 100 N·m dengan arah yang sama bekerja di ujung bebas C, 2,5 m lebih jauh. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

d = 60 mmTB = 1000 N·mTC = 100 N·mAB = 0,8 mBC = 2,5 m
τmax = MPa
5.Gaya geser & momen lenturSedang
M0​ = 25 kN·mAB2 m2 m

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M0 = 25 kN·m di x = 2 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur Mx tepat di kiri kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mM0 = 25 kN·m searah jarum jam, di 2 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
8 kN/m55 kN50 kN40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

55 kN @ 0 m50 kN @ 12 m40 kN @ 4 m8 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
1802520012xdimensi dalam mm

Cari momen inersia Ix penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

bf = 180 mmtf = 25 mmtw = 12 mmhw = 200 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
120101408xM = 5 kN·mdimensi dalam mm

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 5 kN·m. Cari tegangan lentur σbawah di tepi bawah.

bf = 120 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 140 mmM = 5 kN·m
σbawah = MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 150σy​ = 80τxy​ = −10MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 150 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = 150 MPaσy = 80 MPaτxy = −10 MPa
θp = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −80σy​ = 110τxy​ = 20MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −80 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 15° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = −80 MPaσy = 110 MPaτxy = 20 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 5 kN/mδL = 2,5 m

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δmax di tengah bentang.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 2 kN/mP = 16 kNδL = 5 m

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δmax.

P = 16 kNw = 2 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (baja)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Tekuk kolomSedang
PL = 3 m20 × 100 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
P = 95 kNL = 2,5 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 95 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 95 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1066 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 15·1000/201,1 = 74,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 74,6/70000 = 0,001066 = 1066 µε

Jawaban

ε = 1066 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 22,98 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 70000·706,9/400 = 123700 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 30000·123700/228420 = 16246 N

Tegangan

σ2 = 16246/706,9 = 22,98 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 22,98 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 4,503 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(80000·79522) = 0,0786 rad
φ = 0,0786·180/π = 4,503°

Jawaban

φ = 4,503°
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 25,94 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi dalam

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 100 N·m
TAB = TC + TB = 100 + 1000 = 1100 N·m

Tegangan geser maksimum

Segmen dengan torsi dalam terbesar memiliki tegangan terbesar (diameter sama).

|T|max = 1100 N·m
τmax = 16·1,1 × 10⁶/(π·60³) = 25,94 MPa

Jawaban

τmax = 25,94 MPa
5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = −12,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: RB·L − M0 = 0. Kesetimbangan vertikal: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 25/4 = 6,25 kN (ke atas)
RA = −RB = −6,25 kN (ke bawah)

Potong tepat di kiri kopel

Bagian kiri hanya memuat RA.

Mx = RA·a = −6,25·2 = −12,5 kN·m

Jawaban

Mx = −12,5 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 90,67 kN, R2 = 102,3 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = −110, MC = −54,67, MD = −111,3, ME = −200 kN·m, MF = −100, MG = 0

Jawaban

Tanda E: ME = −200 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 28,04 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 180·25 = 4500 mm², yf = 200 + 25/2 = 212,5 mm
badan: Aw = 12·200 = 2400 mm², yw = 200/2 = 100 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4500·212,5 + 2400·100)/6900 = 173,4 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 180·25³/12 + 4500·(212,5 − 173,4)² = 7,125 × 10⁶ mm⁴
badan: 12·200³/12 + 2400·(100 − 173,4)² = 2,092 × 10⁷ mm⁴
Ix = 7,125 × 10⁶ + 2,092 × 10⁷ = 2,804 × 10⁷ mm⁴ = 28,04 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 28,04 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σbawah = 106,7 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: Af = 120·10 = 1200 mm², yf = 140 + 10/2 = 145 mm
badan: Aw = 8·140 = 1120 mm², yw = 140/2 = 70 mm

Titik berat

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1200·145 + 1120·70)/2320 = 108,8 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 120·10³/12 + 1200·(145 − 108,8)² = 1,583 × 10⁶ mm⁴
badan: 8·140³/12 + 1120·(70 − 108,8)² = 3,515 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,583 × 10⁶ + 3,515 × 10⁶ = 5,098 × 10⁶ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 108,8 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·108,8/5,098 × 10⁶ = 106,7 MPa

Jawaban

σbawah = 106,7 MPa
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = −7,973 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

σxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−10, 150 − 80) = −15,95°

Sudut pada elemen

θp = −7,973°

Jawaban

θp = −7,973°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = −57,27 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 15 + −95·0,866 + 20·0,5 = −57,27 MPa

Jawaban

σθ = −57,27 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 2,752 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 2,752 mm

Jawaban

δmax = 2,752 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: δmax = 12,6 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 16000 N, w = 2 N/mm, L = 5000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(48EI) = 16000·5000³/(48·4,6 × 10¹²) = 9,058 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 3,538 mm

Jumlahkan

δmax = 9,058 + 3,538 = 12,6 mm

Jawaban

δmax = 12,6 mm
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 10,44 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/2100² = 10444 N = 10,44 kN

Jawaban

Pcr = 10,44 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 120,4 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·95000 = 285000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 120,4 mm

Jawaban

d = 120,4 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 166,1, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials