Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 55 kNsegmen 1: Ø35 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 0,5 m, tembaga (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 500 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 100 kW pada 1800 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 100 kWN = 1800 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP = 10 kN di 1 mw = 4 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 50 MPa untuk tarik dan 90 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar M_allow yang dapat ditahan balok.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 110 MPa, σᵧ = 40 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 110 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 70 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 350 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).

σ_x = 70 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil I_req yang memenuhi batas ini.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (baja)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 10737 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 85·1000/113,1 = 751,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 751,6/70000 = 0,01074 = 10737 µε

Jawaban

ε = 10737 µε

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,8911 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 57,17 MPa

σ₂ = 175,1 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 57,17·500/200000 = 0,1429 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 175,1·500/117000 = 0,7482 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,8911 mm

Jawaban

δ = 0,8911 mm

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 7,47 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(80000·38350) = 0,1304 rad

φ = 0,1304·180/π = 7,47°

Jawaban

φ = 7,47°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 28,44 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 530516·25/466269 = 28,44 MPa

Jawaban

τ_max = 28,44 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 4,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, bekerja di x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 6·1 − 3·1·0,5 = 4,5 kN·m

Jawaban

M_x = 4,5 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 18,33 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·1 + 4·6·3

R_B = 82/6 = 13,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 34 − 13,67 = 20,33 kN

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 20,33·1 − 4·1·0,5 = 18,33 kN·m

Jawaban

M_x = 18,33 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 12,73 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

badan: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·152,5 + 1960·70)/6460 = 127,5 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 180·25³/12 + 4500·(152,5 − 127,5)² = 3,054 × 10⁶ mm⁴

badan: 14·140³/12 + 1960·(70 − 127,5)² = 9,675 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,054 × 10⁶ + 9,675 × 10⁶ = 1,273 × 10⁷ mm⁴ = 12,73 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 12,73 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: M_allow = 14,63 kN·m

Titik berat

ȳ = (1600·265 + 4680·130)/6280 = 164,4 mm

tepi atas: c = 270 − 164,4 = 105,6 mm

Momen inersia penampang

I = 160·10³/12 + 1600·100,6² + 18·260³/12 + 4680·34,39² = 4,811 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen positif: sisi atas tertekan, sisi bawah tertarik.

tepi atas: M = 90·4,811 × 10⁷/105,6 = 41 kN·m

tepi bawah: M = 50·4,811 × 10⁷/164,4 = 14,63 kN·m

Nilai yang menentukan

M_allow = min = 14,63 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

M_allow = 14,63 kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 69,46 MPa

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((110 − 40)/2)² + 60²) = 69,46 MPa

Jawaban

τ_max = 69,46 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 2,669

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = −5 MPa, R = 75,66 MPa

σ₁ = 70,66 MPa, σ₂ = −80,66 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(70,66² − 70,66·(−80,66) + (−80,66)²) = 131,1 MPa

n = 350/131,1 = 2,669

Jawaban

n = 2,669

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 10,35 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 10,35 mm

Jawaban

δ_max = 10,35 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: I_req = 7,594 × 10⁶ mm⁴

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·3000⁴/(384·200000·8,333) = 7,594 × 10⁶ mm⁴

I_req = 7,594 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_req = 7,594 × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 5,14 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·5000 = 5000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/5000² = 5140 N = 5,14 kN

Jawaban

P_cr = 5,14 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 7,896 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/5 = 500

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Jawaban

σ_cr = 7,896 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials