Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 400 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 250 kN. Cari pemendekan δ.

P = 250 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 105 kNsegmen 1: Ø40 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 2 m, kuningan (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsi porosSedang

Poros aluminium pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 50 mm dan panjang 0,8 m; segmen BC berdiameter 20 mm dan panjang 0,5 m. Torsi 100 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 100 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 20 mm, L₂ = 0,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 10 kW pada 750 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 10 kWN = 750 rpmd_o = 60 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 0,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

30 kN @ 6 m40 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil I simetris memiliki sayap selebar 120 mm dan setebal 16 mm, tinggi total 380 mm, dan badan setebal 10 mm. Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 120 mmH = 380 mmt_f = 16 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Penampang T dipakai sebagai balok dengan sayap di atas dan menahan momen lentur positif 10 kN·m. Cari tegangan lentur σ_bawah di tepi bawah.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mmM = 10 kN·m

σ_bawah = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −70 MPa, σᵧ = 90 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = −70 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −40 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 30° searah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = −40 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δ_max.

P = 29 kNw = 15 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 50 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 50 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1236 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·7461 = 8,09 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 250000·400/8,09 × 10⁸ = 0,1236 mm

Jawaban

δ = 0,1236 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 7,102 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 83,56 MPa

σ₂ = 334,2 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 83,56·500/100000 = 0,4178 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 334,2·2000/100000 = 6,685 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,102 mm

Jawaban

δ = 7,102 mm

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 7,302 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 100000·800/(26000·613592) = 0,005015 rad

φ_BC = 100000·500/(26000·15708) = 0,1224 rad

Puntiran total

φ_C = 0,005015 + 0,1224 = 0,1274 rad = 7,302°

Jawaban

φ_C = 7,302°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 4,392 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Momen inersia polar

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 127324·30/869767 = 4,392 MPa

Jawaban

τ_max = 4,392 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 4,375 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, bekerja di x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·4·2

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Potong di x = 0,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 10·0,5 − 5·0,5·0,25 = 4,375 kN·m

Jawaban

M_x = 4,375 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 15 kN, R₂ = 55 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 15, M_C = −10, M_D = −35, M_E = −60 kN·m, M_F = −30, M_G = 0

Jawaban

Tanda E: M_E = −60 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 162,4 × 10⁶ mm⁴

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = I_c + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 380 − 2·16 = 348 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·380³ − 110·348³)/12

I_x = 1,624 × 10⁸ mm⁴ = 162,4 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 162,4 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_bawah = 31,83 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

badan: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·247,5 + 4800·120)/7800 = 169 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 200·15³/12 + 3000·(247,5 − 169)² = 1,852 × 10⁷ mm⁴

badan: 20·240³/12 + 4800·(120 − 169)² = 3,458 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,852 × 10⁷ + 3,458 × 10⁷ = 5,311 × 10⁷ mm⁴

Tegangan lentur

Tepi bawah berjarak ȳ dari sumbu.

y = 169 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·169/5,311 × 10⁷ = 31,83 MPa

Jawaban

σ_bawah = 31,83 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 89,44 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((−70 − 90)/2)² + 40²) = 89,44 MPa

Jawaban

τ_max = 89,44 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = −64,82 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −55 + 15·0,5 + 20·−0,866 = −64,82 MPa

Jawaban

σ_θ = −64,82 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 31,96 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 31,96 mm

Jawaban

δ_max = 31,96 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 27,22 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 29000 N, w = 15 N/mm, L = 2500 mm, EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(48EI) = 29000·2500³/(48·6,27 × 10¹¹) = 15,06 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 12,17 mm

Jumlahkan

δ_max = 15,06 + 12,17 = 27,22 mm

Jawaban

δ_max = 27,22 mm

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 83,55 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/2100² = 83552 N = 83,55 kN

Jawaban

P_cr = 83,55 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 51,84 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 51,84 mm

Jawaban

d = 51,84 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 108, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials