Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 120 GPa). Keduanya panjangnya 600 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 150 kN. Cari pemendekan δ.

P = 150 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 40 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 100 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal meneruskan 10 kW pada 750 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,75° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

20 kN @ 6 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 4,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mP = 60 kN di 1 mw = 5 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Cari momen inersia I_x penampang T terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I simetris memiliki sayap selebar 140 mm dan setebal 12 mm, tinggi total 360 mm, dan badan setebal 12 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 120 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur maksimum σ_max pada penampang.

B = 140 mmH = 360 mmt_f = 12 mmt_w = 12 mmM = 120 kN·m

σ_max = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 140 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 140 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −80 MPa, σᵧ = −50 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 15° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = −80 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok kayu sederhana berpenampang persegi panjang selebar 150 mm menahan beban merata w di seluruh bentang. Lendutan tengah bentangnya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari tinggi terkecil h_req penampang.

w = 1 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (kayu struktural)b = 150 mm

h_req = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,07091 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·8482 = 1,269 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 150000·600/1,269 × 10⁹ = 0,07091 mm

Jawaban

δ = 0,07091 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 11,77 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 110000·1257/500 = 276460 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 40000·276460/747699 = 14790 N

Tegangan

σ₂ = 14790/1257 = 11,77 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 11,77 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,8768 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(39000·251327) = 0,0153 rad

φ = 0,0153·180/π = 0,8768°

Jawaban

φ = 0,8768°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 44,18 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 127,3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·75)) = 20,52 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 44,18 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(20,52, 44,18) = 44,18 mm

Jawaban

d = 44,18 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 46 kN, R₂ = 46 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 80, M_C = 136, M_D = 168 kN·m, M_E = 136, M_F = 80, M_G = 0

Jawaban

Tanda D: M_D = 168 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 31,88 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1 + 5·6·3

R_B = 150/6 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 25 = 65 kN

Potong di x = 4,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 65·4,5 − 60·(4,5 − 1) − 5·4,5·2,25 = 31,88 kN·m

Jawaban

M_x = 31,88 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 15,61 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi dua persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

badan: A_w = 10·180 = 1800 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Titik berat

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·187,5 + 1800·90)/4800 = 150,9 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap: 200·15³/12 + 3000·(187,5 − 150,9)² = 4,067 × 10⁶ mm⁴

badan: 10·180³/12 + 1800·(90 − 150,9)² = 1,154 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,067 × 10⁶ + 1,154 × 10⁷ = 1,561 × 10⁷ mm⁴ = 15,61 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 15,61 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_max = 154,6 MPa

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 360 − 2·12 = 336 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·360³ − 128·336³)/12

I_x = 1,397 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 180 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·180/1,397 × 10⁸ = 154,6 MPa

Jawaban

σ_max = 154,6 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 68,01 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((140 − 30)/2)² + 40²) = 68,01 MPa

Jawaban

τ_max = 68,01 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = −52,99 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −65 + −15·0,866 + 50·0,5 = −52,99 MPa

Jawaban

σ_θ = −52,99 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 12,78 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 1500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 12,78 mm

Jawaban

δ = 12,78 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: h_req = 162,1 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momen inersia yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·5000⁴/(384·11000·13,89) = 5,327 × 10⁷ mm⁴

Tinggi yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·5,327 × 10⁷/150)^1/3 = 162,1 mm

Jawaban

h_req = 162,1 mm

Dalam praktik, pilih tinggi standar berikutnya di atas nilai ini.

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 90,64 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1400² = 90639 N = 90,64 kN

Jawaban

P_cr = 90,64 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 6,94 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/7,5 = 533,3

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

Jawaban

σ_cr = 6,94 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials