Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12600 mm200 mmØ30Ø30δ = 0,3 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 30 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari tembaga (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 120 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,3 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm
P = kN
2.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø3070 GPaØ100/50600 mm

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 160 MPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 70 GPa, tegangan izin 60 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPatabung: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.Torsi porosSedang
T = 1000 N·md = 40 mmL = 1,5 mφ = ?

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 75 kW pada 3000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 75 kWN = 3000 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
4 kN/m35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

35 kN @ 4 m4 kN/m, 0–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Gaya geser & momen lenturSulit
40 kN20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

40 kN @ 6 m20 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Titik berat & momen inersiaSedang
150 mm300 mm195 mmØ60xIx​ = ?

Sebuah pelat 150 mm × 300 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 60 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 195 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 150 mmh = 300 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
120 mm200 mm140 mm40 × 20xIx​ = ?

Sebuah pelat 120 mm × 200 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 40 mm dan setinggi 20 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 140 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 200 mmpotongan: 40 × 20 mmpusat lubang: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 70σy​ = 30MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = 70 MPa dan σᵧ = 30 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 105 MPa?

σx = 70 MPaσy = 30 MPaσ1 = 105 MPa
τxy = MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 20σy​ = 80τxy​ = −50MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 20 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 40° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 20 MPaσy = 80 MPaτxy = −50 MPaθ = 40°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 6 kN/mP = 10 kNABδ2,5 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P di ujung bebasnya. Dengan superposisi, cari lendutan δ di ujung bebas.

P = 10 kNw = 6 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (baja)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 8 kN/mAB4 m

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari reaksi RB di topang.

L = 4 mw = 8 kN/m
RB = kN
13.Tekuk kolomSedang
PL = 3 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 2,5 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 45,44 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·706,9) = 2,358 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,3/6,602 × 10⁻⁶ = 45441 N = 45,44 kN

Jawaban

P = 45,44 kN
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 443 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·5890 = 5,537 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,0008, 0,0008571) = 0,0008 (baja)

Beban terbesar

Pmax = 0,0008·5,537 × 10⁸ = 442965 N = 443 kN

Jawaban

Pmax = 443 kN
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 4,274 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1500/(80000·251327) = 0,0746 rad
φ = 0,0746·180/π = 4,274°

Jawaban

φ = 4,274°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 27,26 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·238732/(π·60)) = 27,26 mm

Jawaban

d = 27,26 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: C (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 46,67 kN, R2 = 28,33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 85,33, MC = 154,7 kN·m, MD = 138, ME = 105,3, MF = 56,67, MG = 0

Jawaban

Tanda C: MC = 154,7 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: F (x = 5 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R1 = 4 kN, R2 = 56 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

MA = 0, MB = 4, MC = 8, MD = −8, ME = −24, MF = −40 kN·m, MG = 0

Jawaban

Tanda F: MF = −40 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 330,8 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (45000·150 − 2827·195)/(45000 − 2827) = 147 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

150·300³/12 + 45000·3,017² = 337,9 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·60⁴/64 + 2827·48,02² = 7,155 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 330,8 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 330,8 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 78,65 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (24000·100 − 800·140)/(24000 − 800) = 98,62 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·200³/12 + 24000·1,379² = 80,05 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

40·20³/12 + 800·41,38² = 1,396 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 78,65 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 78,65 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 51,23 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (70 + 30)/2 = 50 MPa
R = σ1 − C = 105 − 50 = 55 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 20²) = 51,23 MPa

Jawaban

τxy = 51,23 MPa
10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = −4,45 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 50 + −30·0,1736 + −50·0,9848 = −4,45 MPa

Jawaban

σθ = −4,45 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 7,139 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 10000 N, w = 6 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban sendiri

δP = PL³/(3EI) = 10000·2500³/(3·1,14 × 10¹³) = 4,569 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 2,57 mm

Jumlahkan

δ = 4,569 + 2,57 = 7,139 mm

Jawaban

δ = 7,139 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: RB = 12 kN

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Untuk balok statis tak tentu, lepaskan satu tumpuan kelebihan dan syaratkan lendutan di sana nol (kompatibilitas).

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δload = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang RB sendiri mengangkat ujung bebas sebesar RBL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·8·4/8 = 12 kN

Jawaban

RB = 12 kN
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 2,18 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/6000² = 2180 N = 2,18 kN

Jawaban

Pcr = 2,18 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 126,3 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 0,5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/10 = 125

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126,3 MPa

Jawaban

σcr = 126,3 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials