Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.

P = 15 kNd = 30 mmL = 2 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 250 MPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa, tegangan izin 80 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatabung: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan berongga (diameter luar 80 mm, diameter dalam 48 mm, panjang 2,5 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 400 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 400 N·md_o = 80 mmd_i = 48 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 15 kW pada 300 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 15 kWN = 300 rpmd_o = 100 mmd_i = 70 mm

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Tanda A sampai G membagi balok menjadi enam bagian yang sama. Pada tanda mana momen lenturnya terbesar dalam ukuran, positif atau negatif? Klik pada diagram.

20 kN @ 1 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 3,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 5 mP = 25 kN di 3,5 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 120 mm × 300 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 210 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Profil I simetris memiliki sayap selebar 190 mm dan setebal 24 mm, tinggi total 280 mm, dan badan setebal 8 mm. Penampang menahan momen lentur sebesar 60 kN·m terhadap sumbu x. Cari besar tegangan lentur σ_j di pertemuan badan dan sayap atas.

B = 190 mmH = 280 mmt_f = 24 mmt_w = 8 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 130 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −50 MPa, σᵧ = 100 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 275 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).

σ_x = −50 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (baja)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Lendutan balokSulit

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban terpusat P di tengah bentang. EI konstan. Cari besar momen lentur M_A di ujung jepit.

L = 8 mP = 25 kN di 4 m

M_A = kN·m

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 55 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 55 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,3627 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 15·1000/706,9 = 21,22 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 21,22/117000 = 0,0001814 = 181,4 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,0001814·2000 mm = 0,3627 mm

Jawaban

δ = 0,3627 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 826,2 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·9346 = 1,033 × 10⁹ N

Regangan penentu

ε = min(0,00125, 0,0008) = 0,0008 (kuningan)

Beban terbesar

P_max = 0,0008·1,033 × 10⁹ = 826239 N = 826,2 kN

Jawaban

P_max = 826,2 kN

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,4197 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3,5 × 10⁶ mm⁴

Sudut puntir

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·2500/(39000·3,5 × 10⁶) = 0,007326 rad

φ = 0,007326·180/π = 0,4197°

Jawaban

φ = 0,4197°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 3,2 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Momen inersia polar

J = π(100⁴ − 70⁴)/32 = 7,46 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·50/7,46 × 10⁶ = 3,2 MPa

Jawaban

τ_max = 3,2 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: C (x = 2 m)

Momen lentur terbesar: kemiringan M berubah di mana pun gaya geser berubah, sehingga puncaknya berada di tempat gaya geser memotong nol: di bawah beban terpusat, di dalam beban merata, atau di atas tumpuan pada balok dengan kantilever. Pada tumpuan jepit kantilever momen terbesar berada di dinding. Bandingkan besar M pada tempat-tempat itu, positif (sagging) atau negatif (hogging).

Reaksi tumpuan

Ambil momen terhadap satu tumpuan, lalu pakai keseimbangan gaya vertikal.

R₁ = 30 kN, R₂ = 10 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua gaya pada satu sisi potongan. Positif (sagging) adalah positif, negatif (hogging) adalah negatif.

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 40 kN·m, M_D = 30, M_E = 20, M_F = 10, M_G = 0

Jawaban

Tanda C: M_C = 40 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 57,75 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, bekerja di x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·3,5 + 12·5·2,5

R_B = 237,5/5 = 47,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 47,5 = 37,5 kN

Potong di x = 3,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 37,5·3,5 − 12·3,5·1,75 = 57,75 kN·m

Jawaban

M_x = 57,75 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 265,2 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (36000·150 − 1257·210)/(36000 − 1257) = 147,8 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·300³/12 + 36000·2,17² = 270,2 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·40⁴/64 + 1257·62,17² = 4,983 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 265,2 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 265,2 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: σ_j = 44 MPa

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan memakai sumbu x yang sama.

h_w = 280 − 2·24 = 232 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·280³ − 182·232³)/12

I_x = 1,582 × 10⁸ mm⁴

Tegangan lentur

y = 140 − 24 = 116 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·116/1,582 × 10⁸ = 44 MPa

Jawaban

σ_j = 44 MPa

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = −50,39 °

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = −20/106,9 = −0,1871, sin 2θ_s = −105/106,9 = −0,9823

2θ_s = atan2(−105, −20) = −100,8°

Sudut pada elemen

θ_s = −50,39°

periksa: θ_s − θ_p = −50,39 − (−5,392) = −45°

Jawaban

θ_s = −50,39°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 2,061

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 25 MPa, R = 75,66 MPa

σ₁ = 100,7 MPa, σ₂ = −50,66 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(100,7² − 100,7·(−50,66) + (−50,66)²) = 133,4 MPa

n = 275/133,4 = 2,061

Jawaban

n = 2,061

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 6,349 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 6,349 mm

Jawaban

δ_max = 6,349 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: M_A = 37,5 kN·m

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang R_B sendiri mengangkat ujung bebas sebesar R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·25/16 = 7,813 kN

Momen di ujung jepit

Momen beban dan gaya topang terhadap A.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 100 − 62,5 = 37,5 kN·m

Jawaban

M_A = 37,5 kN·m

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 11,07 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2800² = 11074 N = 11,07 kN

Jawaban

P_cr = 11,07 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: d = 31,28 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·750²/(π³·200000))^(1/4) = 31,28 mm

Jawaban

d = 31,28 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 95,89, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials