Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 16 mmKuningan0,5 mP = 15 kN

Cari regangan aksial ε pada batang kuningan, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 35 mmBaja2 mØ 12 mmBaja1,5 mP = 55 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 55 kNsegmen 1: Ø35 mm, 2 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Torsi porosSedang
d = 20 mmT = 50 N·m250 mmφ = 0,57°

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 20 mm dipuntir oleh torsi 50 N·m. Kedua ujung panjang ukur 250 mm berputar 0,57° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 50 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 0,57°
G = GPa
4.Torsi porosSulit
do​ = ?15 kW, 3000 rpm

Poros berongga harus meneruskan 15 kW pada 3000 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,6 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 80 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

P = 15 kWN = 3000 rpmdi/do = 0,6τallow = 80 MPa
do = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 3 kN/mABpotongan2,5 m3,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 3 kN/mP = 55 kNABpotongan1,5 m1 m1,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mP = 55 kN di 1,5 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
120130t = 10ȳ = ?dimensi dalam mm

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 120 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 130 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 10 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 120 mmh = 130 mmt = 10 mm
ȳ = mm
8.Titik berat & momen inersiaSulit
120260103701616xdimensi dalam mm

Profil I las memiliki sayap atas 120 × 10 mm, badan setinggi 370 mm dan setebal 16 mm, dan sayap bawah 260 × 16 mm (lebar × tebal). Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

sayap atas: 120 × 10 mmbadan: 16 × 370 mmsayap bawah: 260 × 16 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −80σy​ = −20τxy​ = 30MPa

Suatu titik memiliki σₓ = −80 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari sudut θs, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σx = −80 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 70σy​ = 80τxy​ = 50MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 70 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 30° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 70 MPaσy = 80 MPaτxy = 50 MPaθ = 30°
σθ = MPa
11.Lendutan balokSedang
P = 16 kNABδ1,5 m2,5 m

Balok sederhana menahan beban terpusat P pada a = 1,5 m dari tumpuan A. Cari lendutan δP di bawah beban.

P = 16 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Lendutan balokSulit
w = 12 kN/mδL = 6 m

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil Ireq yang memenuhi batas ini.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 5 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 746 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 15·1000/201,1 = 74,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 74,6/100000 = 0,000746 = 746 µε

Jawaban

ε = 746 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 486,3 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 57,17 MPa
σ2 = 486,3 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 486,3 MPa

Jawaban

σmax = 486,3 MPa
3.Torsi poros

Jawaban: G = 79,99 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 0,57·π/180 = 0,009948 rad

Modulus geser

T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·250/(15708·0,009948) = 79990 MPa
G = 79,99 GPa

Jawaban

G = 79,99 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: do = 15,17 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 15000/314,2 = 47,75 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 47,75 N·m = 47746 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·47746/(π·80·0,8704)) = 15,17 mm
di = 0,6·15,17 = 9,103 mm

Jawaban

do = 15,17 mm

Poros pejal memerlukan d = 14,49 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 13,13 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·6·3
RB = 54/6 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 9 = 9 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 9RB​ = 9potongan2,5 m3,5 m

Potong di x = 2,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 9·2,5 − 3·2,5·1,25 = 13,13 kN·m

Jawaban

Mx = 13,13 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 36,56 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, bekerja di x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·1,5 + 3·4·2
RB = 106,5/4 = 26,63 kN
ΣFy = 0: RA = 67 − 26,63 = 40,38 kN
w = 3 kN/mP = 55 kNABRA​ = 40,38RB​ = 26,63potongan1,5 m1 m1,5 m

Potong di x = 2,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 40,38·2,5 − 55·(2,5 − 1,5) − 3·2,5·1,25 = 36,56 kN·m

Jawaban

Mx = 36,56 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 48,33 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A1 = 120·10 = 1200 mm², y1 = 5 mm
dua kaki: A2 = 2·10·120 = 2400 mm², y2 = 10 + 120/2 = 70 mm

Titik berat

ȳ = (1200·5 + 2400·70)/3600 = 48,33 mm

Jawaban

ȳ = 48,33 mm
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 236,6 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi tiga persegi panjang

Ukur setiap y dari tepi bawah.

sayap atas: A = 1200 mm², y = 391 mm
badan: A = 5920 mm², y = 201 mm
sayap bawah: A = 4160 mm², y = 8 mm

Titik berat

ȳ = (1200·391 + 5920·201 + 4160·8)/11280 = 150 mm

Teorema sumbu sejajar

sayap atas: 120·10³/12 + 1200·241² = 6,969 × 10⁷ mm⁴
badan: 16·370³/12 + 5920·50,96² = 8,291 × 10⁷ mm⁴
sayap bawah: 260·16³/12 + 4160·142² = 8,401 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6,969 × 10⁷ + 8,291 × 10⁷ + 8,401 × 10⁷
Ix = 2,366 × 10⁸ mm⁴ = 236,6 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 236,6 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θs = 22,5 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θs = 30/42,43 = 0,7071, sin 2θs = −(−30)/42,43 = 0,7071
2θs = atan2(30, 30) = 45°

Sudut pada elemen

θs = 22,5°
periksa: θs − θp = 22,5 − 67,5 = −45°

Jawaban

θs = 22,5°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 115,8 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 75 + −5·0,5 + 50·0,866 = 115,8 MPa

Jawaban

σθ = 115,8 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δP = 7,44 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 16000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Lendutan di bawah beban

δP = Pa²b²/(3EIL) = 16000·1500²·2500²/(3·2,52 × 10¹²·4000) = 7,44 mm

Jawaban

δP = 7,44 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: Ireq = 173,6 × 10⁶ mm⁴

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Batas lendutan

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·12·6000⁴/(384·70000·16,67) = 1,736 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 173,6 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ireq = 173,6 × 10⁶ mm⁴
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 50,23 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1250² = 50230 N = 50,23 kN

Jawaban

Pcr = 50,23 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 12,34 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/12,5 = 400

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Jawaban

σcr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials