Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa). Keduanya panjangnya 600 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 20 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1 m, tembaga (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 100 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros baja pejal meneruskan 10 kW pada 1450 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 40 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,5° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 10 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Balok sederhana menahan kopel searah jarum jam M₀ = 30 kN·m di x = 3,5 m dari A, tanpa beban lain. Cari momen lentur M_x tepat di kanan kopel. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mM₀ = 30 kN·m searah jarum jam, di 3,5 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 3,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mP = 45 kN di 5 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 240 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 100 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 12 mm. Cari momen inersianya I_x terhadap sumbu horizontal x yang melalui titik beratnya.

b = 240 mmh = 100 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 35 MPa untuk tarik dan 90 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar M_allow yang dapat ditahan balok.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 80 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 15° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 80 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w. Lendutannya tidak boleh melebihi bentang/360. Cari momen inersia terkecil I_req yang memenuhi batas ini.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,2214 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·2199 = 2,168 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 80000·600/2,168 × 10⁸ = 0,2214 mm

Jawaban

δ = 0,2214 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,156 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 40,74 MPa

σ₂ = 99,47 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 40,74·1500/200000 = 0,3056 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 99,47·1000/117000 = 0,8502 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,156 mm

Jawaban

δ = 1,156 mm

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,4274 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(80000·251327) = 0,00746 rad

φ = 0,00746·180/π = 0,4274°

Jawaban

φ = 0,4274°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 31,31 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 10000/151,8 = 65,86 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 65,86 N·m = 65857 N·mm

d_τ = ∛(16·65857/(π·40)) = 20,32 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·65857/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 31,31 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(20,32, 31,31) = 31,31 mm

Jawaban

d = 31,31 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 12,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Kopel yang bekerja membuat diagram momen lentur melompat sebesar kopel tersebut.

Reaksi tumpuan

Momen terhadap A, positif berlawanan arah jarum jam: R_B·L − M₀ = 0. Kesetimbangan vertikal: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/6 = 5 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −5 kN (ke bawah)

Potong tepat di kanan kopel

Bagian kiri sekarang memuat R_A dan kopel.

M_x = R_A·a + M₀ = −5·3,5 + 30 = 12,5 kN·m

Jawaban

M_x = 12,5 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 153,6 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·5 + 12·8·4

R_B = 609/8 = 76,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 141 − 76,13 = 64,88 kN

Potong di x = 3,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 64,88·3,5 − 12·3,5·1,75 = 153,6 kN·m

Jawaban

M_x = 153,6 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 4,444 × 10⁶ mm⁴

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A₁ = 240·12 = 2880 mm², y₁ = 6 mm

dua kaki: A₂ = 2·12·88 = 2112 mm², y₂ = 12 + 88/2 = 56 mm

Titik berat

ȳ = (2880·6 + 2112·56)/4992 = 27,15 mm

Teorema sumbu sejajar

basis: 240·12³/12 + 2880·(6 − 27,15)² = 1,323 × 10⁶ mm⁴

dua kaki: 2·12·88³/12 + 2112·(56 − 27,15)² = 3,12 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,323 × 10⁶ + 3,12 × 10⁶

I_x = 4,444 × 10⁶ mm⁴ = 4,444 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 4,444 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: M_allow = 7,921 kN·m

Titik berat

ȳ = (2800·245 + 3360·120)/6160 = 176,8 mm

tepi atas: c = 250 − 176,8 = 73,18 mm

Momen inersia penampang

I = 280·10³/12 + 2800·68,18² + 14·240³/12 + 3360·56,82² = 4,001 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen positif: sisi atas tertekan, sisi bawah tertarik.

tepi atas: M = 90·4,001 × 10⁷/73,18 = 49,21 kN·m

tepi bawah: M = 35·4,001 × 10⁷/176,8 = 7,921 kN·m

Nilai yang menentukan

M_allow = min = 7,921 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

M_allow = 7,921 kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = −54,99 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = −20/58,52 = −0,3417, sin 2θ_s = −55/58,52 = −0,9398

2θ_s = atan2(−55, −20) = −110°

Sudut pada elemen

θ_s = −54,99°

periksa: θ_s − θ_p = −54,99 − (−9,992) = −45°

Jawaban

θ_s = −54,99°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 49,95 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 5 + 75·0,866 + −40·0,5 = 49,95 MPa

Jawaban

σ_θ = 49,95 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 16,15 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 16,15 mm

Jawaban

δ_max = 16,15 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: I_req = 9,04 × 10⁶ mm⁴

Batas lendutan

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momen inersia yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·3000⁴/(384·70000·8,333) = 9,04 × 10⁶ mm⁴

I_req = 9,04 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_req = 9,04 × 10⁶ mm⁴

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 119,4 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/2100² = 119360 N = 119,4 kN

Jawaban

P_cr = 119,4 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 137,1 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137,1 MPa

Jawaban

σ_cr = 137,1 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials