Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur
σ = M·y/I
Persegi panjang
I = bh³/12
Modulus penampang
W = I/ymax
Tumpuan sederhana, beban merata
Mmax = wL²/8

Metode

  1. Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
  2. Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
  3. Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Persegi panjang
I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar
I = Ic + A·d²
Penampang komposit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang
δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana
δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung
δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 12 mmAluminium0,5 mP = 20 kN

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 20 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø20120 GPaØ120/60600 mm

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 120 MPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 120 GPa, tegangan izin 100 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.Torsi porosSedang
do​ = 50, di​ = 30 mmT = 750 N·mL = 0,8 m

Poros kuningan berongga (diameter luar 50 mm, diameter dalam 30 mm, panjang 0,8 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 750 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 750 N·mdo = 50 mmdi = 30 mmL = 0,8 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 50 kW pada 1450 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 50 kWN = 1450 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Gaya geser & momen lenturSedang
w = 6 kN/mABpotongan0,5 m5,5 m

Cari momen lentur Mx pada potongan x = 0,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mw = 6 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
6.Gaya geser & momen lenturSulit
w = 12 kN/mAB3 m3 m

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum Mmax pada balok.

L = 6 mw = 12 kN/m dari 3 sampai 6 m
Mmax = kN·m
7.Titik berat & momen inersiaSedang
1104602012xdimensi dalam mm

Profil I simetris memiliki sayap selebar 110 mm dan setebal 20 mm, tinggi total 460 mm, dan badan setebal 12 mm. Cari momen inersianya Ix terhadap sumbu titik berat horizontal x.

B = 110 mmH = 460 mmtf = 20 mmtw = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersiaSulit
200 mm150 mm105 mm60 × 20xIx​ = ?

Sebuah pelat 200 mm × 150 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 60 mm dan setinggi 20 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 105 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas Ix terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 150 mmpotongan: 60 × 20 mmpusat lubang: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 30σy​ = 20τxy​ = −40MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 30 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = 30 MPaσy = 20 MPaτxy = −40 MPa
θp = °
10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −20σy​ = −80τxy​ = 60MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −20 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (σz = 0). Cari tegangan ekuivalen von Mises σvM.

σx = −20 MPaσy = −80 MPaτxy = 60 MPa
σvM = MPa
11.Lendutan balokSedang
w = 8 kN/mδL = 4 m

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (baja)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Lendutan balokSulit
P = 60 kNAB1,5 m1,5 m

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban terpusat P di tengah bentang. EI konstan. Cari reaksi RB di topang.

L = 3 mP = 60 kN di 1,5 m
RB = kN
13.Tekuk kolomSedang
PL = 2,5 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
Pcr = kN
14.Tekuk kolomSulit
PL = 5 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm
σcr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 2526 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 20·1000/113,1 = 176,8 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 176,8/70000 = 0,002526 = 2526 µε

Jawaban

ε = 2526 µε
2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 648,4 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·8482 = 1,081 × 10⁹ N

Regangan penentu

ε = min(0,0006, 0,0008333) = 0,0006 (baja)

Beban terbesar

Pmax = 0,0006·1,081 × 10⁹ = 648425 N = 648,4 kN

Jawaban

Pmax = 648,4 kN
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,65 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Sudut puntir

T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 0,8 m = 800 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 750000·800/(39000·534071) = 0,02881 rad
φ = 0,02881·180/π = 1,65°

Jawaban

φ = 1,65°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 28,17 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·329286/(π·75)) = 28,17 mm

Jawaban

d = 28,17 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mx = 8,25 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, bekerja di x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 6·6·3
RB = 108/6 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 18 = 18 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 18RB​ = 18potongan0,5 m5,5 m

Potong di x = 0,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = RA·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)
Mx = 18·0,5 − 6·0,5·0,25 = 8,25 kN·m

Jawaban

Mx = 8,25 kN·m
6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: Mmax = 30,38 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, bekerja di x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·3·4,5
RB = 162/6 = 27 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 27 = 9 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari RA, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 3) = 0
x0 = 3 + 9/12 = 3,75 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 3)²/2 = 9·3,75 − 12·0,75²/2 = 30,38 kN·m

Jawaban

Mmax = 30,38 kN·m
7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 287,2 × 10⁶ mm⁴

Momen inersia penampang: untuk persegi panjang terhadap sumbu titik beratnya sendiri I = bh³/12, dan terhadap alasnya bh³/3 (teorema sumbu sejajar I = Ic + A·d²). Lubang diperhitungkan dengan mengurangkan I-nya, asalkan kedua bagian memakai sumbu yang sama. Modulus penampang elastis adalah S = I/c, dengan c jarak ke serat terluar.

Persegi panjang luar dikurangi dua potongan samping

Kedua potongan bersama-sama selebar (B − tw) dan setinggi hw = H − 2tf, dan memakai sumbu x yang sama.

hw = 460 − 2·20 = 420 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (110·460³ − 98·420³)/12
Ix = 2,872 × 10⁸ mm⁴ = 287,2 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 287,2 × 10⁶ mm⁴
8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: Ix = 55,09 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki Ic = bh³/12 dan lingkaran Ic = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (30000·75 − 1200·105)/(30000 − 1200) = 73,75 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·150³/12 + 30000·1,25² = 56,3 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

60·20³/12 + 1200·31,25² = 1,212 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

Ix = 55,09 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

Ix = 55,09 × 10⁶ mm⁴
9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = −41,44 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−40, 30 − 20) = −82,87°

Sudut pada elemen

θp = −41,44°

Jawaban

θp = −41,44°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σvM = 126,5 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = −50 MPa, R = 67,08 MPa
σ1 = 17,08 MPa, σ2 = −117,1 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(17,08² − 17,08·(−117,1) + (−117,1)²) = 126,5 MPa

Jawaban

σvM = 126,5 MPa
11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 8 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 8·4000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 8 mm

Jawaban

δ = 8 mm
12.Lendutan balok

Jawaban: RB = 18,75 kN

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi). Untuk balok statis tak tentu, lepaskan satu tumpuan kelebihan dan syaratkan lendutan di sana nol (kompatibilitas).

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang RB sendiri mengangkat ujung bebas sebesar RBL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·60/16 = 18,75 kN

Jawaban

RB = 18,75 kN
13.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 143,5 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1750² = 143515 N = 143,5 kN

Jawaban

Pcr = 143,5 kN
14.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 17,27 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/12,5 = 200

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Jawaban

σcr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials