Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang tembaga, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 20 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 35 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan berongga (diameter luar 60 mm, diameter dalam 30 mm, panjang 1,2 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 400 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 400 N·md_o = 60 mmd_i = 30 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 15 kW pada 300 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 15 kWN = 300 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 6 mw = 3 kN/m dari 0 sampai 6 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Cari momen lentur M_x pada potongan x = 2,5 m dari tumpuan A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 8 mP = 50 kN di 4 mw = 12 kN/m dari 0 sampai 8 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Profil kanal diletakkan dengan sisi terbuka ke atas: pelat dasar selebar 160 mm dengan dua kaki tegak, setinggi total 200 mm. Dasar dan kaki semuanya setebal 10 mm. Cari tinggi ȳ titik berat di atas tepi bawah.

b = 160 mmh = 200 mmt = 10 mm

ȳ = mm

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 50 MPa untuk tarik dan 100 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar M_allow yang dapat ditahan balok.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = 40 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 120 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 275 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria von Mises (energi distorsi).

σ_x = 80 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Lendutan balokSedang

Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang. Cari lendutan δ di ujung bebas.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (baja)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Lendutan balokSulit

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban terpusat P di tengah bentang. EI konstan. Cari reaksi R_B di topang.

L = 4 mP = 60 kN di 2 m

R_B = kN

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 952,2 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 35·1000/314,2 = 111,4 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 111,4/117000 = 0,0009522 = 952,2 µε

Jawaban

ε = 952,2 µε

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 174,1 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 49,51 MPa

σ₂ = 174,1 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 174,1 MPa

Jawaban

σ_max = 174,1 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,5912 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴

Sudut puntir

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·1200/(39000·1,193 × 10⁶) = 0,01032 rad

φ = 0,01032·180/π = 0,5912°

Jawaban

φ = 0,5912°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 22,35 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·25/534071 = 22,35 MPa

Jawaban

τ_max = 22,35 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 7,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, bekerja di x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

Potong di x = 1 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 9·1 − 3·1·0,5 = 7,5 kN·m

Jawaban

M_x = 7,5 kN·m

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = 145 kN·m

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, bekerja di x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·4 + 12·8·4

R_B = 584/8 = 73 kN

ΣF_y = 0: R_A = 146 − 73 = 73 kN

Potong di x = 2,5 m dan ambil bagian kiri

Hanya gaya di kiri potongan yang diperhitungkan. Bagian beban merata bekerja sebagai satu gaya di tengah bagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri potongan × jaraknya ke potongan)

M_x = 73·2,5 − 12·2,5·1,25 = 145 kN·m

Jawaban

M_x = 145 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: ȳ = 75,37 mm

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Bagi menjadi persegi panjang

Ambil dasar selebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), sehingga tidak ada yang terhitung dua kali.

basis: A₁ = 160·10 = 1600 mm², y₁ = 5 mm

dua kaki: A₂ = 2·10·190 = 3800 mm², y₂ = 10 + 190/2 = 105 mm

Titik berat

ȳ = (1600·5 + 3800·105)/5400 = 75,37 mm

Jawaban

ȳ = 75,37 mm

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: M_allow = 20,13 kN·m

Titik berat

ȳ = (2400·290 + 5600·140)/8000 = 185 mm

tepi atas: c = 300 − 185 = 115 mm

Momen inersia penampang

I = 120·20³/12 + 2400·105² + 20·280³/12 + 5600·45² = 7,447 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen positif: sisi atas tertekan, sisi bawah tertarik.

tepi atas: M = 100·7,447 × 10⁷/115 = 64,75 kN·m

tepi bawah: M = 50·7,447 × 10⁷/185 = 20,13 kN·m

Nilai yang menentukan

M_allow = min = 20,13 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

M_allow = 20,13 kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 7,018 °

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, 120 − 40) = 14,04°

Sudut pada elemen

θ_p = 7,018°

Jawaban

θ_p = 7,018°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 2,47

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 55 MPa, R = 55,9 MPa

σ₁ = 110,9 MPa, σ₂ = −0,9017 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(110,9² − 110,9·(−0,9017) + (−0,9017)²) = 111,4 MPa

n = 275/111,4 = 2,47

Jawaban

n = 2,47

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Lendutan balok

Jawaban: δ = 43,4 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Lendutan

δ = wL⁴/(8EI) = 4·5000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 43,4 mm

Jawaban

δ = 43,4 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: R_B = 18,75 kN

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang R_B sendiri mengangkat ujung bebas sebesar R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·60/16 = 18,75 kN

Jawaban

R_B = 18,75 kN

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 21,7 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·4000 = 8000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/8000² = 21704 N = 21,7 kN

Jawaban

P_cr = 21,7 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 11,19 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/10 = 420

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/420² = 11,19 MPa

Jawaban

σ_cr = 11,19 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials