Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 800 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 200 kN. Cari pemendekan δ.

P = 200 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari tembaga (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 120 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 20 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros baja berongga (diameter luar 30 mm, diameter dalam 18 mm, panjang 2 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 100 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 100 N·md_o = 30 mmd_i = 18 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 30 kW pada 3000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 30 kWN = 3000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 4 m dari A. Cari momen lentur M_x pada potongan x = 2 m dari tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 4 mP = 30 kN di 4 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata pada sebagian bentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 8 mw = 20 kN/m dari 0 sampai 2 m

M_max = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 120 mm × 300 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 60 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 90 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 120 mmh = 300 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Balok besi tuang memiliki penampang T seperti pada gambar, dengan sayap di atas. Tegangan izinnya 60 MPa untuk tarik dan 150 MPa untuk tekan. Cari momen lentur positif terbesar M_allow yang dapat ditahan balok.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 20 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 20 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 130 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 40° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 130 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (baja)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Lendutan balokSulit

Kantilever bertopang dijepit di A dan ditumpu sederhana (ditopang) di B. Balok menahan beban merata w di sepanjang batang. EI konstan. Cari reaksi R_B di topang.

L = 8 mw = 12 kN/m

R_B = kN

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1604 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·9346 = 9,975 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 200000·800/9,975 × 10⁸ = 0,1604 mm

Jawaban

δ = 0,1604 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 11,81 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 120000·1257/500 = 301593 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 20000·301593/406313 = 14845 N

Tegangan

σ₂ = 14845/1257 = 11,81 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 11,81 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 2,069 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(30⁴ − 18⁴)/32 = 69216 mm⁴

Sudut puntir

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 100000·2000/(80000·69216) = 0,03612 rad

φ = 0,03612·180/π = 2,069°

Jawaban

φ = 2,069°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 18,65 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·75)) = 18,65 mm

Jawaban

d = 18,65 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = −76 kN·m

Ambil bagian ujung bebas

P: −30·2 = −60 kN·m

w: −8·2²/2 = −16 kN·m

M_x = −60 − 16 = −76 kN·m

Jawaban

M_x = −76 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 30,63 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 20·2 = 40 kN, bekerja di x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·2·1

R_B = 40/8 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 5 = 35 kN

Gaya geser nol

Gaya geser mulai dari R_A, tetap konstan di bagian yang tidak dibebani, dan turun dengan kemiringan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 35/20 = 1,75 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 35·1,75 − 20·1,75²/2 = 30,63 kN·m

Jawaban

M_max = 30,63 kN·m

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 258,3 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (36000·150 − 2827·90)/(36000 − 2827) = 155,1 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

120·300³/12 + 36000·−5,114² = 270,9 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−65,11² = 12,62 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 258,3 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 258,3 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: M_allow = 11,15 kN·m

Luas gabungan: bagi penampang menjadi persegi panjang. Titik berat adalah rata-rata berbobot luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen inersia terhadap sumbu titik berat menjumlahkan bh³/12 masing-masing bagian dan suku sumbu sejajar A·d², dengan d jarak titik berat bagian ke titik berat keseluruhan. Tegangan lentur σ = M·y/I.

Titik berat

ȳ = (3500·192,5 + 3240·90)/6740 = 143,2 mm

tepi atas: c = 205 − 143,2 = 61,77 mm

Momen inersia penampang

I = 140·25³/12 + 3500·49,27² + 18·180³/12 + 3240·53,23² = 2,661 × 10⁷ mm⁴

Momen yang diizinkan tiap tepi

Momen positif: sisi atas tertekan, sisi bawah tertarik.

tepi atas: M = 150·2,661 × 10⁷/61,77 = 64,61 kN·m

tepi bawah: M = 60·2,661 × 10⁷/143,2 = 11,15 kN·m

Nilai yang menentukan

M_allow = min = 11,15 kN·m (tepi bawah)

Jawaban

M_allow = 11,15 kN·m

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 25 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((20 − −10)/2)² + 20²) = 25 MPa

Jawaban

τ_max = 25 MPa

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 121,4 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 60 + 70·0,1736 + 50·0,9848 = 121,4 MPa

Jawaban

σ_θ = 121,4 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 5,711 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 5,711 mm

Jawaban

δ_max = 5,711 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: R_B = 36 kN

Lepaskan topang

Tanpa topang, balok adalah kantilever. Ujung bebasnya akan melendut akibat beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Kompatibilitas di topang

Gaya topang R_B sendiri mengangkat ujung bebas sebesar R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada lendutan nol, jadi keduanya harus saling meniadakan. EI saling menghapus.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·8/8 = 36 kN

Jawaban

R_B = 36 kN

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 139,5 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3000² = 139528 N = 139,5 kN

Jawaban

P_cr = 139,5 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 31,58 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/20 = 250

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

Jawaban

σ_cr = 31,58 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials