Mekanika Bahan: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 14 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Gaya geser & momen lentur

Gaya geser dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegangan lentur: σ = M·y/I
Persegi panjang: I = bh³/12
Modulus penampang: W = I/y_max
Tumpuan sederhana, beban merata: M_max = wL²/8

Metode

Cari reaksi tumpuan dari kesetimbangan seluruh balok.
Potong balok di penampang yang Anda perlukan dan ambil satu sisi.
Gaya geser: jumlah gaya vertikal pada sisi tersebut. Momen lentur: jumlah momennya terhadap potongan.
Untuk momen maksimum, cari letak gaya geser sama dengan nol.

Titik berat & momen inersia

Titik berat: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Persegi panjang: I = bh³/12
Teorema sumbu sejajar: I = I_c + A·d²
Penampang komposit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Lendutan balok

Beban terpusat di tengah bentang: δ = PL³/(48EI)
Beban merata, tumpuan sederhana: δ = 5wL⁴/(384EI)
Kantilever, beban di ujung: δ = PL³/(3EI)
Kantilever, beban merata: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soal latihan

1.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang aluminium akibat beban aksial.

P = 110 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 45 kNsegmen 1: Ø35 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 40 mm dan panjang 2,5 m; segmen BC berdiameter 30 mm dan panjang 1,2 m. Torsi 400 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 400 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 100 kW pada 1800 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 100 kWN = 1800 rpmd_o = 40 mmd_i = 32 mm

τ_max = MPa

5.Gaya geser & momen lenturSedang

Kantilever dijepit di A. Kantilever menahan beban merata w di sepanjang batang dan beban terpusat P pada jarak 2,5 m dari A. Cari momen lentur M_x pada potongan x = 1 m dari tumpuan jepit A. Anggap positif momen yang membuat serat bawah tertarik dan gaya geser ke atas pada muka kiri.

L = 2,5 mP = 80 kN di 2,5 mw = 8 kN/m dari 0 sampai 2,5 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Gaya geser & momen lenturSulit

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang dan beban terpusat P. Cari momen lentur maksimum M_max pada balok.

L = 4 mP = 10 kN di 3 mw = 2 kN/m dari 0 sampai 4 m

M_max = kN·m

7.Titik berat & momen inersiaSedang

Sebuah pelat 200 mm × 300 mm memiliki lubang lingkaran berdiameter 40 mm pada garis tengah vertikalnya, dengan pusat 195 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 200 mmh = 300 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersiaSulit

Sebuah pelat 100 mm × 200 mm memiliki potongan persegi panjang selebar 40 mm dan setinggi 50 mm, di tengah garis tengah vertikal dengan pusat 140 mm di atas dasar. Cari momen inersia luas I_x terhadap sumbu horizontal melalui titik berat.

b = 100 mmh = 200 mmpotongan: 40 × 50 mmpusat lubang: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 10 MPa, σᵧ = 50 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 60 mm menahan momen lentur sebesar 500 N·m bersama torsi 1500 N·m. Di permukaan atas, tempat tegangan lentur bersifat tarik dan paling besar, cari tegangan geser sebidang maksimum τ_max.

d = 60 mmM = 500 N·mT = 1500 N·m

τ_max = MPa

11.Lendutan balokSedang

Balok sederhana menahan beban merata w di seluruh bentang. Cari lendutan maksimum δ_max di tengah bentang.

w = 4 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (kayu struktural)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Lendutan balokSulit

Balok sederhana menahan beban merata w dan beban terpusat P di tengah bentang. Dengan superposisi, cari lendutan tengah δ_max.

P = 19 kNw = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 50,02 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 110·1000/78,54 = 1401 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1401/70000 = 0,02001 = 20008 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,02001·2500 mm = 50,02 mm

Jawaban

δ = 50,02 mm

2.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 223,8 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 46,77 MPa

σ₂ = 223,8 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 223,8 MPa

Jawaban

σ_max = 223,8 MPa

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 7,173 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 400000·2500/(80000·251327) = 0,04974 rad

φ_BC = 400000·1200/(80000·79522) = 0,07545 rad

Puntiran total

φ_C = 0,04974 + 0,07545 = 0,1252 rad = 7,173°

Jawaban

φ_C = 7,173°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 71,51 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Momen inersia polar

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 530516·20/148384 = 71,51 MPa

Jawaban

τ_max = 71,51 MPa

5.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_x = −129 kN·m

Ambil bagian ujung bebas

P: −80·1,5 = −120 kN·m

w: −8·1,5²/2 = −9 kN·m

M_x = −120 − 9 = −129 kN·m

Jawaban

M_x = −129 kN·m

Negatif berarti momen negatif: sisi atas tertarik.

6.Gaya geser & momen lentur

Jawaban: M_max = 10,5 kN·m

Metode potongan: potong balok di tempat gaya dalam yang ingin dicari dan ambil satu sisi. Gaya geser V mengimbangi gaya vertikal di sisi itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya terhadap potongan. Momen maksimum: karena dM/dx = V, momen lentur mencapai puncaknya di tempat gaya geser melewati nol, baik di beban terpusat maupun di dalam beban merata.

Reaksi tumpuan

Kesetimbangan seluruh balok.

Resultan beban merata: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, bekerja di x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·3 + 2·4·2

R_B = 46/4 = 11,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 11,5 = 6,5 kN

Di mana V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 0,5 kN

V(3⁺) = 0,5 − 10 = −9,5 kN

Gaya geser berganti tanda di titik beban, jadi maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 6,5·3 − 2·3²/2 = 10,5 kN·m

Jawaban

M_max = 10,5 kN·m

Terjadi di x = 3 m dari A.

7.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 447,3 × 10⁶ mm⁴

Penampang berlubang: perlakukan lubang sebagai luas negatif. Titik berat adalah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk pelat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen inersia luas terhadap sumbu titik berat, gunakan teorema sumbu sejajar untuk setiap bagian lalu kurangkan lubangnya: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari titik berat masing-masing bagian ke sumbu yang melalui ȳ. Persegi panjang memiliki I_c = bh³/12 dan lingkaran I_c = πd⁴/64.

Titik berat

ȳ = (60000·150 − 1257·195)/(60000 − 1257) = 149 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

200·300³/12 + 60000·0,9626² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

π·40⁴/64 + 1257·45,96² = 2,78 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 447,3 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 447,3 × 10⁶ mm⁴

8.Titik berat & momen inersia

Jawaban: I_x = 62,69 × 10⁶ mm⁴

Titik berat

ȳ = (20000·100 − 2000·140)/(20000 − 2000) = 95,56 mm

Pelat penuh terhadap ȳ

100·200³/12 + 20000·4,444² = 67,06 × 10⁶ mm⁴

Lubang terhadap ȳ

40·50³/12 + 2000·44,44² = 4,367 × 10⁶ mm⁴

Kurangkan

I_x = 62,69 × 10⁶ mm⁴

Jawaban

I_x = 62,69 × 10⁶ mm⁴

9.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = 16,85 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = 30/36,06 = 0,8321, sin 2θ_s = −(−20)/36,06 = 0,5547

2θ_s = atan2(20, 30) = 33,69°

Sudut pada elemen

θ_s = 16,85°

periksa: θ_s − θ_p = 16,85 − 61,85 = −45°

Jawaban

θ_s = 16,85°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

10.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 37,28 MPa

Tegangan di permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·60³) = 23,58 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·60³) = 35,37 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 11,79 MPa

R = √(11,79² + 35,37²) = 37,28 MPa

Jawaban

τ_max = 37,28 MPa

11.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 1,042 mm

Lendutan balok: lendutan diperoleh dengan mengintegrasikan kelengkungan M/(EI) dua kali. Kasus standar tersedia dalam tabel, misalnya PL³/(3EI) untuk kantilever dengan beban ujung dan 5wL⁴/(384EI) untuk balok sederhana dengan beban merata penuh. Lendutan akibat beban terpisah dijumlahkan (superposisi).

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Lendutan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·1500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 1,042 mm

Jawaban

δ_max = 1,042 mm

12.Lendutan balok

Jawaban: δ_max = 27,49 mm

Satuan konsisten

Hitung dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 19000 N, w = 20 N/mm, L = 2500 mm, EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban sendiri

δ_P = PL³/(48EI) = 19000·2500³/(48·5,95 × 10¹¹) = 10,39 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 17,1 mm

Jumlahkan

δ_max = 10,39 + 17,1 = 27,49 mm

Jawaban

δ_max = 27,49 mm

13.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 4,449 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4200² = 4449 N = 4,449 kN

Jawaban

P_cr = 4,449 kN

14.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 9,715 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/15 = 266,7

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266,7² = 9,715 MPa

Jawaban

σ_cr = 9,715 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials